하위 선형 시스템의 빠른 계산 / 추정

선형 방정식 시스템은 계산 통계에 널리 퍼져 있습니다. 내가 접한 하나의 특수 시스템 (예 : 요인 분석)은 시스템입니다.

A x = b

$Ax=b$

여기서 여기에서 는 엄격하게 양의 대각선을 가진 대각선 행렬 , 은 ( ) 대칭 양의 반 정밀도 행렬이고 는 임의의 행렬. 우리는 낮은 순위의 매트릭스에 의해 교란 된 대각선 선형 시스템 (쉬운)을 풀어야합니다. 위의 문제를 해결하는 순진한 방법은 Woodbury의 공식을 사용하여 를 뒤집는 것입니다

A = D + B Ω B^{T}

$A=D+ B \Omega B^T$

D

$D$

n \times n

$n\times n$

Ω

$\Omega$

m \times m

$m\times m$

m ≪ n

$m\ll n$

B

$B$

n \times m

$n\times m$

A

$A$ . 그러나 Cholesky 및 QR 인수 분해는 일반적으로 선형 시스템 (및 일반 방정식)의 솔루션 속도를 크게 높일 수 있기 때문에 옳지 않습니다. 나는 최근 에 Cholesky 접근법을 취하는 것처럼 보이는 다음 논문 을 생각해 냈고 Woodbury의 반전의 수치 적 불안정성을 언급했습니다. 그러나 논문은 초안 형태로 보였으며 수치 실험이나 보조 연구를 찾을 수 없었습니다. 내가 설명한 문제를 해결하기위한 최첨단 기술은 무엇입니까?

— 연락 없는
소스

Ω^{- 1} + B D^{- 1} B^{T}

$\Omega^{-1}+BD^{-1}B^T$

Ω^{- 1}

$\Omega^{-1}$

m << n

$m<<n$

A

$A$

ϵ

$\epsilon$

\bar{B} = D^{- 1 / 2} B

$\bar{B} = D^{-1/2} B$

(I + \bar{B} Ω {\bar{B}}^{T}) x = \bar{b}

$(I + \bar{B}\Omega \bar{B}^T)x = \bar{b}$

\bar{b} = D^{- 1 / 2} b

$\bar{b} = D^{-1/2} b$

Σ = \bar{B} Ω {\bar{B}}^{T}

$\Sigma = \bar{B} \Omega \bar{B}^T$

Σ

$\Sigma$

m

$m$

m ≪ n

$m \ll n$

m

$m$

x = Q (I + Λ)^{- 1} Q^{T} \bar{b}

$x = Q(I + \Lambda)^{-1} Q^T \bar{b}$

Σ = Q Λ Q^{T}

$\Sigma = Q \Lambda Q^T$

Σ

$\Sigma$

(I + \bar{B} Ω {\bar{B}}^{T}) D^{1 / 2} x = \bar{b}

$(I + \bar{B} \Omega \bar{B}^T) D^{1/2} x = \bar{b}$

x = D^{- 1 / 2} Q (I + Λ)^{- 1} Q^{T} D^{- 1 / 2} b

$x = D^{-1/2} Q (I + \Lambda)^{-1} Q^T D^{-1/2} b$

D^{1 / 2}

$D^{1/2}$

x

$x$ 모든 역은 대각선 행렬이므로 사소한 것입니다.

— 추기경

Ω^{- 1} + B^{T} D^{- 1} B

$\Omega^{-1} + B^T D^{-1} B$

Golub & van Loan의 "Matrix Computations"는 12.5.1 장에서 rank-p 업데이트 후 QR 및 Cholesky 인수 분해 업데이트에 대한 자세한 설명을 제공합니다.

— 파비안 페레 고사
소스

나는 알고 있으며 관련 라팩 기능은 내가 링크 한 책과 책에 언급되어 있습니다. 그러나 일반적인 업데이트 문제가 아니라 현재 문제에 대한 모범 사례가 무엇인지 궁금합니다.

— gappy 2016 년