두 개의 랜덤 변수의 합으로서 균일 한 랜덤 변수

표시는 경우가 아닐 수 있다는 것을 균일 [0,1]에 분포하고 및 독립적 동일하게 분포한다. 당신은 안 X 및 Y가 연속 변수 있다고 가정합니다. $U=X+Y$ $U$ $X$ $Y$

와 같이 항상 와 를 찾을 수 있다고 주장함으로써 , 가 불연속적인 것으로 가정 되는 경우 모순에 의한 간단한 증거로 충분합니다. 반면 . $X$ $Y$ $u$ $u'$ $P(U\leq u+u') \geq P(U\leq u)$ $P(X+Y \leq u) = P(X+Y \leq u+u')$

그러나이 증명은 절대적으로 연속적이거나 단일 연속적인 로 확장되지 않습니다 . 힌트 / 의견 / 비평? $X,Y$

— 권리
소스

힌트 : 특징적인 기능은 친구입니다.

— 추기경

X와 Y는 iid이므로 특성 기능이 동일해야합니다. mgf가 X에 대해 존재한다고 보장 할 수는 없으므로 특성 함수를 사용해야합니다. mgf가 특성이 불가능하다는 것을 표시한다고해서 그러한 X가 없음을 의미하지는 않습니다. 모든 RV에 특성 함수가 있습니다. 그것이 불가능한 재산을 가지고 있음을 보여 주면 그러한 X는 없습니다.

— Silverfish

의 분포 경우 및 상관 자를 , 그 말 , 다음 이므로 는 에 균일하게 분포 될 수 없습니다 . 따라서, 원자를 갖는

및

의 분포의 경우를 고려할 필요가 없다 .

X

$X$

Y

$Y$

P {X = a} = P {Y = a} = b > 0

$P\{X=a\}=P\{Y=a\} = b > 0$

P {X + Y = 2 a} \geq b^{2} > 0

$P\{X+Y=2a\} \geq b^2 > 0$

X + Y

$X+Y$

[0, 1]

$[0,1]$

X

$X$

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

답변:

결과는 그림으로 증명할 수 있습니다. 가시적 인 회색 영역은 균일 한 분포가 두 개의 독립적으로 동일하게 분포 된 변수의 합으로 분해 될 수 없음을 나타냅니다.

표기법

하자 및 되도록 할 IID 에서 균일 한 분포를 갖는다 . 이것은 모든 , $X$ $Y$ $X+Y$ $[0,1]$ $0\le a \le b \le 1$

Pr (a < X + Y \leq b) = b - a .

$\Pr(a < X+Y \le b) = b-a.$

따라서 와 의 공통 분포에 대한 본질적인 지원 은 (그렇지 않으면 외부에 있을 가능성이 긍정적입니다 ). $X$ $Y$ $[0,1/2]$ $X+Y$ $[0,1]$

사진

보자 . 랜덤 변수의 합이 계산되는 방법을 보여주는이 다이어그램을 고려하십시오. $0 \lt \epsilon \lt 1/4$

기본 확률 분포는 대한 결합 확률 분포입니다 . 이벤트 확률은 선 와 사이의 대각선 밴드 확장에 의해 커버되는 총 확률에 의해 주어진다 . 이러한 3 개의 밴드가 표시됩니다 : 에서 까지 왼쪽 아래에 작은 파란색 삼각형으로 나타납니다. 에서 으로 두 (황색 및 녹색) 삼각형으로 캡핑 회색 직사각형으로 도시; 로부터 으로 , 오른쪽에서 작은 빨간 삼각형으로 표시. $(X,Y)$ $a \lt X+Y \le b$ $x+y=a$ $x+y=b$ $0$ $\epsilon$ $1/2-\epsilon$ $1/2+\epsilon$ $1-\epsilon$ $1$

그림이 보여주는 것

를 포함하는 왼쪽 아래 광장 그림에서 왼쪽 아래 삼각형을 비교하기위한 IID 가정을 이용하여 와 , 그 분명하다 $X$ $Y$

ϵ = Pr (X + Y \leq ϵ) < Pr (X \leq ϵ) Pr (Y \leq ϵ) = Pr (X \leq ϵ)^{2} .

$\epsilon = \Pr(X+Y \le \epsilon) \lt \Pr(X \le \epsilon)\Pr(Y \le \epsilon) = \Pr(X \le \epsilon)^2.$

불평등은 엄격합니다. 와 가 보다 작지만 보다 적을 가능성이 있기 때문에 평등은 불가능합니다 . $X$ $Y$ $\epsilon$ $X+Y \gt \epsilon$

마찬가지로 빨간색 삼각형을 오른쪽 상단의 사각형과 비교하면

ϵ = Pr (X + Y > 1 - ϵ) < Pr (X > 1 / 2 - ϵ)^{2} .

$\epsilon = \Pr(X+Y \gt 1-\epsilon) \lt \Pr(X \gt 1/2-\epsilon)^2.$

마지막으로, 왼쪽 위와 오른쪽 아래에 있는 두 개의 반대 삼각형을 그것들을 포함하는 대각선 으로 비교 하면 또 다른 불평등이 생깁니다

2 ϵ < 2 Pr (X \leq ϵ) Pr (X > 1 / 2 - ϵ) < Pr (1 / 2 - ϵ < X + Y \leq 1 / 2 + ϵ) = 2 ϵ .

$2\epsilon \lt 2 \Pr(X\le \epsilon)\Pr(X \gt 1/2-\epsilon) \lt \Pr(1/2-\epsilon \lt X+Y \le 1/2+\epsilon) = 2\epsilon.$

첫 번째 불평등은 앞의 두 불평등에서 나옵니다 (제곱근을 취하고 곱하십시오). 두 번째 불평등은 밴드 내에 삼각형이 (엄격하게) 포함되어 있고 마지막 평등은 의 균일 성을 나타냅니다 . 이라는 결론은 그러한 와 가 존재할 수 없다는 모순 QED 입니다. $X+Y$ $2\epsilon \lt 2\epsilon$ $X$ $Y$

— 우버
소스

(+1) 나는이 접근법을 좋아한다. 폐지 바스켓에서 봉투 뒷면을 복구하면 밴드 내부의 노란색과 녹색 삼각형에 표시가 없다는 것을 제외하고는 같은 다이어그램을 그렸습니다. 나는 파란색과 빨간색 삼각형의 불평등을 얻었습니다. 나는 그들과 몇 가지 다른 확률을 가지고 놀았지만 스트립의 가능성을 조사하는 것을 결코 생각하지 않았습니다. 어떤 통찰 과정이이 통찰력을 자극했을지 궁금합니다.

— Silverfish

실제로 @whuber가 노란색과 녹색 삼각형을 갖는 곳에서는 사각형을 그렸습니다 ( 를 그리드로 효과적으로 분해했습니다 ). "밴드 내에 삼각형의 (엄격한) 포함을 설명하는 단계"를 보면, , 삼각형보다 밴드를 캡핑하는 사각형이 실제로 기하학적으로 더 자연스러운 지 궁금합니다.

[0, 0.5]^{2}

$[0, 0.5]^2$

2 Pr (X \leq ϵ) Pr (X > 1 / 2 - ϵ) < Pr (1 / 2 - ϵ < X + Y \leq 1 / 2 + ϵ)

$2 \Pr(X\le \epsilon)\Pr(X \gt 1/2-\epsilon) \lt \Pr(1/2-\epsilon \lt X+Y \le 1/2+\epsilon)$

— Silverfish

@Silver 나는 몇 년 전에 게시 한 균일 분포의 합 에 대한 분석을 상기시켰다 . 그것은 합계 기하학적으로 시각화하는 것을 제안했습니다 . 합이 균일하고 중심 대각선에 가까울 확률이 거의 없도록 코너 및 근처에 많은 확률이 집중되어야한다는 것이 즉시 명백했습니다. 입니다. 그것은 Mathematica 에서 다시 그린 다이어그램으로 이어졌습니다 . 그 시점에서 답은 저절로 썼습니다. 예, 중앙 밴드에서 사각형을 사용하는 것이 더 깔끔 할 수 있습니다.

X + Y

$X+Y$

(0, 0)

$(0,0)$

(1 / 2, 1 / 2)

$(1/2,1/2)$

X + Y = 1 / 2

$X+Y=1/2$

— whuber

감사! "참고 부등식 엄격한 있음 :이 있다는 긍정적 가능성 때문에 평등 불가능 중 또는 11보다 그럼에도 불구하고 ." 확실하지 않습니다. 나에게 여기서 목표는 을 표시하는 것 같습니다. 이벤트 되는 두 및 보다 작거나 같 아직 ? 내가 진동하고있는 "둘 중 하나"와 "둘 다"입니다.

X

$X$

Y

$Y$

ϵ

$\epsilon$

X + Y > ϵ

$X+Y \gt \epsilon$

Pr (X + Y \leq ϵ) < Pr (X \leq ϵ \cap Y \leq ϵ)

$\Pr(X+Y \le \epsilon) \lt \Pr(X \le \epsilon \cap Y \le \epsilon)$

A

$A$

X

$X$

Y

$Y$

ϵ

$\epsilon$

X + Y > ϵ

$X + Y > \epsilon$

— Silverfish

@Silverfish 감사합니다; 나는 의도했던대로 표현하지 않았다. 당신은 맞습니다 : 언어는 본질적으로 삼각형 안에없는 작은 정사각형의 부분을 설명하기위한 것입니다.

— whuber

특징적인 기능을 고려하지 않고 증거를 찾으려고 노력했습니다. 과도한 첨도 는 트릭을 수행합니다. 두 줄로 된 대답은 다음과 같습니다. 및 가 iid 이므로 입니다. 이어서 암시 로서 모순되는 모든 랜덤 변수. $\text{Kurt}(U) = \text{Kurt}(X + Y) = \text{Kurt}(X) / 2$ $X$ $Y$ $\text{Kurt}(U) = -1.2$ $\text{Kurt}(X) = -2.4$ $\text{Kurt}(X) \geq -2$

오히려 더 흥미로운 점은 그 시점에 도달 한 추론의 선입니다. (및 )는 0과 0.5 사이로 경계를 정해야합니다. 그 정도는 명백하지만 모멘트와 중심 모멘트가 존재한다는 것을 의미합니다. :의가 평균과 분산 고려하여 시작하자 및 . 와 가 동일하게 분포 되면 다음과 같습니다. $X$ $Y$ $\mathbb{E}(U)=0.5$ $\text{Var}(U)=\frac{1}{12}$ $X$ $Y$

E (X + Y) = E (X) + E (Y) = 2 E (X) = 0.5

$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y) = 2 \mathbb{E}(X)= 0.5$

따라서 입니다. 분산의 경우 다음을 추가로 적용하려면 독립성을 사용해야합니다. $\mathbb{E}(X) = 0.25$

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) = 2 Var (X) = \frac{1}{12}

$\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 2 \text{Var}(X) = \frac{1}{12}$

따라서 및 입니다. 와! 이는 지원 범위가 0에서 0.5 사이 인 랜덤 변수에 대한 많은 변형입니다. 그러나 표준 편차가 평균과 같은 방식으로 확장되지 않기 때문에 예상했을 것입니다. $\text{Var}(X) = \frac{1}{24}$ $\sigma_X = \frac{1}{2\sqrt{6}} \approx 0.204$

이제, 가장 작은 값이 0이고, 가장 큰 값이 0.5이고, 평균이 0.25이면 랜덤 변수가 가질 수 있는 가장 큰 표준 편차는 무엇입니까? 평균에서 0.25 떨어진 극단의 두 점 질량에서 모든 확률을 수집하면 0.25의 표준 편차가 명확하게 나타납니다. 따라서 우리의 는 크지 만 불가능하지는 않습니다. (이것은 가 균일하기 위해 꼬리에 너무 많은 가능성이 있음을 암시하기를 희망 했지만 봉투 뒷면의 위치로는 얻을 수 없었습니다.) $\sigma_X$ $X + Y$

두 번째 모멘트 고려 사항은 에 거의 불가능한 제약 조건이 있으므로 더 높은 모멘트를 고려해 봅시다. 무엇에 대해 비대칭의 피어슨의 순간 계수 , ? 이것은 중심 모멘트가 존재하고 이기 때문에 존재합니다 . cumulants의 일부 속성, 특히 독립을 적용한 다음 동일한 분포를 적용하면 다음과 같은 이점이 있습니다. $X$ $\gamma_1 = \frac{\mathbb{E}(X - \mu_X)^3}{\sigma_X^3} = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}$ $\sigma_X \neq 0$

κ_{i} (U) = κ_{i} (X + Y) = κ_{i} (X) + κ_{i} (Y) = 2 κ_{i} (X)

$\kappa_i(U) = \kappa_i(X + Y) = \kappa_i(X) + \kappa_i(Y) = 2\kappa_i(X)$

이 가산 성 속성 은 정확히 위의 평균과 분산을 다루는 방법의 일반화입니다. 실제로 첫 번째와 두 번째 누적은 및 입니다. $\kappa_1 = \mu$ $\kappa_2 = \sigma^2$

그런 다음 및 입니다. 대한 분수는 를 생성하기 위해 취소됩니다 . 균일 분포는 왜도 (skewness)가 없기 때문에 도 마찬가지 이지만이 제한에서 모순이 어떻게 발생하는지 알 수 없습니다. $\kappa_3(U) = 2\kappa_3(X)$ $\big(\kappa_2(U)\big)^{3/2} = \big(2\kappa_2(X)\big)^{3/2} = 2^{3/2} \big(\kappa_2(X)\big)^{3/2}$ $\gamma_1$ $\text{Skew}(U) = \text{Skew}(X + Y) = \text{Skew}(X) / \sqrt{2}$ $X$

대신 과잉 첨도를 시도해 봅시다, . 비슷한 주장으로 (이 질문은 자율 학습이므로 시도하십시오!) 우리는 이것이 존재하고 순종한다는 것을 보여줄 수 있습니다. $\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \frac{\mathbb{E}(X - \mu_X)^4}{\sigma_X^4} - 3$

Kurt (U) = Kurt (X + Y) = Kurt (X) / 2

$\text{Kurt}(U) = \text{Kurt}(X + Y) = \text{Kurt}(X) / 2$

균일 분포에는 초과 첨도 있으므로 에는 초과 첨도 가 필요합니다 . 그러나 가장 작은 과잉 첨도는 이며 이는 Bernoulli 분포에 의해 달성됩니다 . $-1.2$ $X$ $-2.4$ $-2$ $\text{Binomial}(1, \frac{1}{2})$

— 은어
소스

(+1) 이것은 매우 영리한 접근법으로, 나에게는 처음이었습니다. 감사. 제로를 중심으로 한 유니폼을 고려하여 일부 분석을 간소화 할 수 있습니다. (문제의 등가는 즉각적입니다.) 그것은 비대칭을 고려하는 것이 막 다른 골목이라고 즉시 말했을 것입니다.

— 추기경

@ cardinal : 나는 그 일을하기 전에 기울기가 막 다른 골목임을 알았습니다. 목적은 설명적인 것이 었습니다. 그것은 스스로 공부하는 질문이므로 완전히 풀고 싶지 않습니다! 차라리 다음 레벨 업을 다루는 방법에 대한 힌트를 남기고 싶었습니다.

— Silverfish

@ cardinal : 나는 중심에 있든 없든 두 가지 마음에있었습니다. 봉투 뒷면 계산을보다 편리하게 수행했지만 최종 분석에서는 (1) 라는 일반적인 결과의 간단한 사례 만 있으면됩니다. IID 용 , (2) 그 대한 어떠한 균일 분포, 및 (3) 때문에 존재 경계되고 사소한 (다른 ). 따라서 핵심 결과는 실제로 센터링이 필요하지 않았지만 비트가 덜 추한 것처럼 보일 수 있습니다!

K u r t (X_{1} + . . . + X_{n}) = \frac{1}{n} K u r t (X)

$Kurt(X_1 + ... + X_n) = \frac{1}{n}Kurt(X)$

X_{i}

$X_i$

K u r t (U) = - 1.2

$Kurt(U) = -1.2$

K u r t (X)

$Kurt(X)$

X

$X$

σ_{X} \neq 0

$\sigma_X \neq 0$

σ_{U} = 0

$\sigma_U = 0$

— Silverfish

예, "능률화 된"이라는 단어가 신중하게 선택되었습니다. :-) 나는 당신의 설명에 대한 비평으로 내 의견을 읽지 않으려 고했습니다. 건배.

— 추기경

@cardinal 우연히, 분산 고려 사항만으로는 거의 효과가 있었지만 유니폼은 충분히 퍼지지 않았습니다. 예를 들어 [-0.5, 0.5]에서 , , 경우 가 -0.25와 0.25에 의해 제한 되므로 불가능 합니다. 물론, 이것이이 예와 어떤 관련이 있는지 즉시 알게 될 것입니다! 접근 방식이 일반화되는지 궁금합니다. 다른 범위의 RV를 합산 할 수는 없지만 모순을 찾기 위해 더 많은 순간을 조사해야한다고 확신합니다.

f_{T} (t) = 12 t^{2}

$f_T(t)=12t^2$

V a r (T) = .15

$Var(T)=.15$

T = X_{1} + X_{2}

$T = X_1 + X_2$

σ_{X} = \sqrt{.15 / 2} \approx 0.27 > 0.25

$\sigma_X = \sqrt{.15/2} \approx 0.27 > 0.25$

X

$X$

— 실버 피쉬