시끄러운 사인파에 대한 확률 분포

측정 오류가있을 때 진동 함수에서 샘플링 지점의 확률 분포를 분석적으로 계산하려고합니다. 나는 "노이즈없이"부분의 확률 분포를 이미 계산했지만 (이 부분을 마지막에 넣겠습니다) "노이즈"를 포함하는 방법을 알 수 없습니다.

수치 추정

더 명확하게 말하면, 단일 사이클 동안 무작위로 포인트를 선택하는 함수가 있다고 상상해보십시오 . 히스토그램에 점을 비우면 분포와 관련이 있습니다.$y(x) = \sin(x)$

소음없이

예를 들어 여기 와 해당 히스토그램이 있습니다.$sin(x)$

소음

이제 측정 오차가 있다면 히스토그램의 모양이 바뀔 것입니다 (따라서 기본 분포를 생각합니다). 예를 들어

분석 계산

잘만되면 나는이 둘 사이에 약간의 차이가 있음을 확신했고, 이제는 "잡음없이"사례를 어떻게 계산했는지 쓸 것이다.

소음없이

$$y(x) = \sin(x)$$

그런 다음 표본 추출 시간이 균일하게 분포 된 경우 대한 확률 분포는 다음을 충족해야합니다.$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

그때부터

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

그래서

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

적절한 정규화를 통해 "노이즈가없는"경우에 생성 된 히스토그램에 맞습니다.

소음

그래서 내 질문은 : 어떻게 분포에 잡음을 분석적으로 포함시킬 수 있습니까? 나는 그것이 영리한 방식으로 분포를 결합하거나 정의에 노이즈를 포함시키는 것과 같은 것이라고 생각 하지만, 전진하는 아이디어와 방법이 없으므로 힌트 / 팁 또는 권장되는 독서가 훨씬 많습니다. 감사합니다.$y(x)$

노이즈 프로세스의 구성 방식에 따라 다릅니다.

$Y$

$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(이 컨볼 루션은 수치 적으로 수행되었습니다.이 예제에서 그 정수가 얼마나 다루기 힘든지 모르겠습니다. 시도하지 않았습니다.)

P (x)에 대한 파생 표현은 2의 요인에 의해 벗어난 것 같습니다. 균일하게 분포 된 샘플 시간은 -pi, pi 간격에 걸쳐 위상을 균일하게 분포시키는 것과 같습니다. 삼각 함수는 y 구간 {-1,1}에 걸쳐 확률을 분배합니다. 이 구간에서 P (y)를 적분하면 위의 정수를 사용하여 얻은 2가 아니라 1이되어야합니다. 나는 P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))