공분산과 독립?

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나는 교과서에서 이 X와 Y가 독립적이라는 것을 보증하지 않는다고 읽었습니다 . 그러나 만약 그들이 독립적이라면, 그들의 공분산은 0이어야합니다. 누군가가 하나를 제공 할 수 있습니까? $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— 비행 돼지
소스

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또한 Anscombe 's Quartet에 대한 빠른 검토를 통해 2 변량 데이터 세트로 특정 비공 분 분산을 실현할 수있는 여러 가지 방법 중 일부를 보여줍니다.

— whuber

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주목할 것은 공분산 측정은 선형성의 측정이라는 것입니다. 공분산을 계산하는 것은 '데이터가 직선 패턴을 형성합니까?'라는 질문에 답합니다. 데이터가 선형 패턴을 따르는 경우, 따라서 종속적입니다. 그러나 이것은 데이터가 의존 할 수있는 한 가지 방법 일뿐입니다. '무모하게 운전하고 있습니까?'라고 묻는 것과 같습니다. 한 가지 질문은 '속도 제한을 넘어 25mph를 주행하고 있습니까?'입니다. 그러나 이것이 무모하게 운전하는 유일한 방법은 아닙니다. 또 다른 질문은 '당신은 취했습니까?' 무모하게 운전하는 방법은 여러 가지가 있습니다.

— Adam

소위 선형성 측정은 관계에 구조를 제공합니다. 관계가 비선형 일 수있어 드물지 않은 것이 중요합니다. 일반적으로 공분산은 0이 아니며 가설입니다. 공분산은 비율이 아닌 크기를 나타냅니다

— .

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쉬운 예 : 를 확률이 0.5 인 또는 랜덤 변수로 둡니다. 이어서하자 되도록 랜덤 변수 일 경우 , 및 랜덤하다 또는 확률 0.5하다면 . $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

분명히 와 는 매우 의존적이지만 ( 는 를 완벽하게 알 수 있기 때문에 ) 공분산은 0입니다. 모두 평균이 0이고 $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} 이자형 [엑스 와이] & = & (- 1) & \cdot & 0 & \cdot & 피 (엑스 = - 1) \\ + & 1 & \cdot & 1 & \cdot & 피 (엑스 = 1, 와이 = 1) \\ + & 1 & \cdot & (- 1) & \cdot & 피 (엑스 = 1, 와이 = - 1) \\ = & 0. \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

또는 더 일반적으로, 어떤 유통 걸릴 및 하도록 모든 (즉, 공동 분배입니다 축을 중심으로 대칭 ) 항상 공분산이 없습니다. 그러나 $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ ; 즉, 조건이 모두 한계와 같지는 않습니다. 또는 축주위의 대칭을 위해 구토. $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— 질로
소스

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나는 항상 학생들에게주는 예입니다. 및 인 랜덤 변수 를 취하십시오 ( 예 : 평균이 0 인 일반 랜덤 변수). 취하십시오 . 와 가 관련되어 있음은 분명 하지만 $X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

씨 영형 V (엑스, 와이) = 이자형 엑스 와이 - 이자형 엑스 \cdot 이자형 와이 = 이자형 {엑스}^{삼} = 0.

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
소스

나도 그 예를 좋아한다. 특정한 경우에, N (0,1) rv와 chi2 (1) rv는 서로 관련이 없다.

— ocram

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+1이지만 작은 nitpick으로,

따로 가정해야합니다 (분포의 대칭 가정 또는

따르지 않음 ). t는 등의 문제가

의 형식으로 운동

. 그리고 나는 그 @ ocram의 주장에 대해 구역질 나는 " N은 (0,1) RV 및 CHI2 (1) RV는 상관입니다." (강조 추가) 예,

E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

및

무상관 아니라모든

및

랜덤 변수.

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate, 감사합니다. 응답을 적절하게 편집했습니다. 내가 그것을 쓸 때 나는 보통 변수에 대해, 제로 세 번째 순간은 제로 평균에서옵니다.

— mpiktas

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아래 이미지 (출처 Wikipedia )는 세 번째 행에 대한 많은 예를 가지고 있으며, 특히 첫 번째와 네 번째 예는 강한 의존 관계를 갖지만 상관 관계는 0이며 공분산은 0입니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— 못된 101
소스

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일부 다른 예에서는 원 또는 타원을 형성하는 데이터 포인트를 고려하고 공분산은 0이지만 x를 알고 있으면 y를 2로 좁 힙니다. 또는 정사각형 또는 직사각형의 데이터. 또한 X, V 또는 ^ 또는 <또는>를 형성하는 데이터는 모두 공분산 0을 제공하지만 독립적이지 않습니다. y = sin (x) (또는 cos)이고 x가 정수의 배수 배수를 포함하는 경우 cov는 0과 같지만 x를 알고 있으면 y 또는 적어도 | y | 타원, x, <및> 경우.

— 그레그 스노우
소스

1

"x가 피크 또는 최저점에서 시작하는 정수의 배수 배수를 포함하는 경우"이거나보다 일반적으로 : "x가 y가 대칭 인 구간을 포함하는 경우"

— naught101