ACF 및 PACF 공식

시계열 데이터에서 ACF 및 PACF를 플로팅하기위한 코드를 만들고 싶습니다. 미니탭에서 생성 된 플롯과 동일합니다 (아래).

수식을 검색하려고했지만 여전히 잘 이해하지 못합니다. 공식과 사용 방법을 알려주시겠습니까? 위의 ACF 및 PACF 플롯에서 빨간색 가로선은 무엇입니까? 공식은 무엇입니까?

감사합니다,

자기 상관

두 변수 $y_1, y_2$ 간의 상관 관계 는 다음과 같이 정의됩니다.

$$\rho = \frac{\hbox{E}\left[(y_1-\mu_1)(y_2-\mu_2)\right]}{\sigma_1 \sigma_2} = \frac{\hbox{Cov}(y_1, y_2)}{\sigma_1 \sigma_2} \,,$$

여기서 E는 기대 연산자, $\mu_1$ 및 $\mu_2$ 는 각각 $y_1$ 과 $y_2$ 와 $\sigma_1, \sigma_2$ 에 대한 평균 이며, σ 2 는 표준 편차입니다.

단일 변수, 즉 자동 상관 의 맥락 에서 $y_1$ 은 원본 계열이고 $y_2$ 는 지연된 버전입니다. 상기 정의에 따라, 차수 k = 0 , 1 , 2 , ... 의 샘플 자기 상관 . . .$k=0,1,2,...$관측 된 시리즈 $y_t$ , t = 1 , 2 ,로 다음 식을 계산하여 얻을 수 있습니다 . . . , n$t=1,2,...,n$ :

$$\rho(k) = \frac{\frac{1}{n-k}\sum_{t=k+1}^n (y_t - \bar{y})(y_{t-k} - \bar{y})}{ \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^n (y_t - \bar{y})^2}\sqrt{\frac{1}{n-k}\sum_{t=k+1}^n (y_{t-k} - \bar{y})^2}} \,,$$

여기서 $\bar{y}$ 는 데이터의 표본 평균입니다.

부분 자기 상관

부분 자기 상관은 두 변수에 영향을 미치는 다른 변수의 영향을 제거한 후 한 변수의 선형 의존성을 측정합니다. 예를 들어, 순서 대책 효과 (선형 의존성)의 부분의 자기 상관 $y_{t-2}$ 에서 $y_t$ 의 영향을 제거한 후 $y_{t-1}$ 에서 모두 $y_t$ 및 $y_{t-2}$ .

각 부분 자기 상관은 다음과 같은 형태의 일련의 회귀로 얻을 수 있습니다.

$$\tilde{y}_t = \phi_{21} \tilde{y}_{t-1} + \phi_{22} \tilde{y}_{t-2} + e_t \,,$$

여기서 $\tilde{y}_t$ 는 원래 시리즈에서 표본 평균을 뺀 $y_t - \bar{y}$ 입니다. 추정치$\phi_{22}$$k$$k$

샘플 부분 자기 상관을 계산하는 다른 방법은 각 주문 $k$ 에 대해 다음 시스템을 해결하는 것입니다 .

$$\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc} \rho(0) & \rho(1) & \cdots & \rho(k-1) \\ \rho(1) & \rho(0) & \cdots & \rho(k-2) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \rho(k-1) & \rho(k-2) & \cdots & \rho(0) \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \phi_{k1} \\ \phi_{k2} \\ \vdots \\ \phi_{kk} \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \rho(1) \\ \rho(2) \\ \vdots \\ \rho(k) \\ \end{array}\right) \,, \end{eqnarray}$$

여기서 $\rho(\cdot)$ 는 샘플 자기 상관입니다. 샘플 자기 상관과 부분 자기 상관 사이의 이러한 매핑을 Durbin-Levinson 재귀라고 합니다. 이 방법은 설명을 위해 구현하기가 비교적 쉽습니다. 예를 들어, R 소프트웨어에서 다음과 같이 차수 5의 부분 자기 상관을 얻을 수 있습니다.

# sample data
x <- diff(AirPassengers)
# autocorrelations
sacf <- acf(x, lag.max = 10, plot = FALSE)$acf[,,1]
# solve the system of equations
res1 <- solve(toeplitz(sacf[1:5]), sacf[2:6])
res1
# [1]  0.29992688 -0.18784728 -0.08468517 -0.22463189  0.01008379
# benchmark result
res2 <- pacf(x, lag.max = 5, plot = FALSE)$acf[,,1]
res2
# [1]  0.30285526 -0.21344644 -0.16044680 -0.22163003  0.01008379
all.equal(res1[5], res2[5])
# [1] TRUE

자신감 밴드

신뢰 구간은 표본 자기 상관의 값으로 계산할 수 있습니다 $\pm \frac{z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}$$z_{1-\alpha/2}$$1-\alpha/2$

때때로 차수가 증가함에 따라 증가하는 신뢰 구간이 사용됩니다. 이 경우 밴드는 로 정의 될 수 있습니다$\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{n}\left(1 + 2\sum_{i=1}^k \rho(i)^2\right)}$

"시계열 데이터에서 ACF 및 PACF를 플로팅하기위한 코드를 만들고 싶습니다."

OP는 약간 모호하지만 선형 대수 모델 공식보다 "레시피"스타일 코딩 공식에 더 적합 할 수 있습니다.

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$t$$t-1$$ts_{t-3}$ 의 마지막 제거해야합니다.$3$$3$ 시간순으로)를 .

예:

트렌드 라인에 겹쳐진 주기적 사인 패턴과 노이즈로 시간 계열을 조정하고 R 생성 ACF를 플로팅합니다. Christoph Scherber 의 온라인 게시물 에서이 예제를 가져 와서 노이즈를 추가했습니다.

x=seq(pi, 10 * pi, 0.1)
y = 0.1 * x + sin(x) + rnorm(x)
y = ts(y, start=1800)

보통 우리는 정상 성을 위해 데이터를 테스트해야 할 것입니다 (또는 위의 그림을 보아라). 우리는 추세가 있음을 알고 있으므로이 부분을 건너 뛰고 추세 제거 단계로 직접 이동하십시오.

model=lm(y ~ I(1801:2083))
st.y = y - predict(model)

이제 우리는 먼저 acf()R 의 함수를 사용 하여 ACF를 생성 한 다음 결과를 함께 만든 임시 루프와 비교 하여이 시계열을 해결할 준비가되었습니다 .

ACF = 0                  # Starting an empty vector to capture the auto-correlations.
ACF[1] = cor(st.y, st.y) # The first entry in the ACF is the correlation with itself (1).
for(i in 1:30){          # Took 30 points to parallel the output of `acf()`
  lag = st.y[-c(1:i)]    # Introducing lags in the stationary ts.
  clipped.y = st.y[1:length(lag)]    # Compensating by reducing length of ts.
  ACF[i + 1] = cor(clipped.y, lag)   # Storing each correlation.
}
acf(st.y)                            # Plotting the built-in function (left)
plot(ACF, type="h", main="ACF Manual calculation"); abline(h = 0) # and my results (right).

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$ts_{t-4}$$ts_t$$ts_{t-1}$$ts_{t-2}$$ts_{t-3}$$ts_{t-4}$$ts_t \sim ts_{t-1} + ts_{t-2} + ts_{t-3}+ts_{t-4}$ $ts_{t-4}$

PACF = 0          # Starting up an empty storage vector.
for(j in 2:25){   # Picked up 25 lag points to parallel R `pacf()` output.
  cols = j        
  rows = length(st.y) - j + 1 # To end up with equal length vectors we clip.

  lag = matrix(0, rows, j)    # The storage matrix for different groups of lagged vectors.

for(i in 1:cols){
  lag[ ,i] = st.y[i : (i + rows - 1)]  #Clipping progressively to get lagged ts's.
}
  lag = as.data.frame(lag)
  fit = lm(lag$V1 ~ . - 1, data = lag) # Running an OLS for every group.
  PACF[j] = coef(fit)[j - 1]           # Getting the slope for the last lagged ts.
}

마지막으로 나란히 R 생성 및 수동 계산을 다시 플로팅합니다.

아이디어가 올바른지, 가능한 계산 문제 옆에 비교하여 볼 수 있습니다 PACF로pacf(st.y, plot = F) .

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여기에 코드를 작성 하십시오 .

$e_t$

ACF를 계산하는 파이썬 코드는 다음과 같습니다.

def shift(x,b):
    if ( b <= 0 ):
        return x
    d = np.array(x);
    d1 = d
    d1[b:] = d[:-b]
    d1[0:b] = 0
    return d1

# One way of doing it using bare bones
# - you divide by first to normalize - because corr(x,x) = 1
x = np.arange(0,10)
xo = x - x.mean()

cors = [ np.correlate(xo,shift(xo,i))[0]  for i in range(len(x1)) ]
print (cors/cors[0] )

#-- Here is another way - you divide by first to normalize
cors = np.correlate(xo,xo,'full')[n-1:]
cors/cors[0]