우리는 일반적으로 변수가 정확히 정규 분포 되는 것이 불가능하다는 것을 알고 있습니다 ...
정규 분포는 양 방향으로 연장되는 끝이 무한정 길다. 데이터가 이러한 극단에서 멀리 떨어져있을 가능성은 없지만 실제 정규 분포의 경우 물리적으로 가능해야합니다. 연령의 경우 정규 분포 모형은 데이터의 평균 위 또는 아래에 5 표준 편차가있을 가능성이 0이 아닌 확률을 예측합니다. 이는 0 미만 또는 150 이상과 같이 물리적으로 불가능한 연령에 해당합니다. 인구 피라미드는 당신이 나이에도 약 일반적으로 첫 번째 장소에서 분산.) 당신은 직관적으로 더 "보통 같은"분포를 따르는 수있는 높이 데이터를 가지고 마찬가지로 경우 것으로 예상하는 이유, 그것은 단지가 될 수 분명하지 않다 진정 높이가 0cm 이하 또는 300cm 이상일 경우 정상입니다.
때로는 데이터가 평균 0을 갖도록 중심을 설정 하여이 문제를 피할 수 있다고 제안했습니다. 그렇게하면 긍정적이고 부정적인 "중심 연령"이 가능합니다. 그러나 이것은 음의 값을 물리적으로 그럴듯하고 해석 가능하게 만들지 만 (음의 중심 값은 평균 아래에있는 실제 값에 해당함), 일단 일반 모델이 0이 아닌 확률로 물리적으로 불가능한 예측을 생성한다는 문제를 해결하지 못합니다. 모델링 된 "중심 연령"을 "실제 연령"으로 다시 디코딩합니다.
왜 시험을 귀찮게 하는가? 정확하지 않더라도 정규성은 여전히 유용한 모델이 될 수 있습니다.
중요한 질문은 실제로 데이터가 정확히 정상인지 여부가 아닙니다 . 가설 검정을 실행하지 않아도 대부분의 상황에서 사실이 될 수없는 선험 을 알고 있습니다. 그러나 근사치가 사용자의 요구에 충분히 가까운 지 여부를 알고 있습니다 . 정규성 테스트가 본질적으로 쓸모가 없다는 질문을보십시오 . 정규 분포는 많은 목적을위한 편리한 근사치입니다. "정확한"경우는 거의 없지만 일반적으로 유용하기 위해 정확하게 정확할 필요는 없습니다. 정규 분포가 일반적으로 사람들의 키에 적합한 합리적인 모델이기를 기대하지만, 정규 분포가 사람들의 연령 모델로 이해되기 위해서는 좀 더 특이한 상황이 필요합니다.
실제로 정규성 테스트를 수행 할 필요가 있다고 생각되면 Kolmogorov-Smirnov가 최선의 선택이 아닐 수 있습니다. Shapiro-Wilk는 다양한 가능한 대안에 비해 강력한 성능을 가지고 있으며 사전에 실제 평균과 분산을 알 필요가 없다는 장점이 있습니다 . 그러나 작은 표본의 경우 정규성에서 상당히 큰 편차가 여전히 탐지되지 않을 수 있지만 큰 표본의 경우 정규성에서 매우 작은 (실용적으로는 관련이없는) 편차는 "매우 유의미한"것으로 나타날 수 있습니다 (낮은 p -값).
"벨 모양"이 반드시 정상적인 것은 아닙니다
"종 모양"데이터 (중간에서 최고점이며 꼬리에서 확률이 낮은 대칭 데이터)를 "정상"으로 생각한다고 들었습니다. 그러나 정규 분포에는 피크와 꼬리에 특정한 모양이 필요합니다. 언뜻보기에 비슷한 모양을 가진 다른 분포가 있습니다.이 분포는 "종 모양"으로 특성화되었지만 정상이 아닙니다. 당신이있어하지 않는 한 많은 데이터를, 당신은 그 "가 아니라 다른 이들처럼이 기성 유통 같다"구별 할 수 없을 수도있어. 당신은 많은 양의 데이터를 할 경우에, 당신은 가능성이 보이지 않는 찾을 수 있습니다 꽤 전혀 어떤 "기성"유통처럼! 그러나이 경우 많은 목적을 위해
정규 분포는 당신이 사용하는 "종 모양"입니다; 코시는 예리한 피크 및 "무거운"테일 (즉, 더 가능성을 포함)을 갖는다 t의 분포 자유와 5도 사이 어딘가 온다 (통상은이 t 무한 DF 및 코시이 t 1 DF 너무 차종 감지하는); 라플라스 또는 이중 지수 분포는 PDF 정규 분포보다 예리한 피크 결과 백투백 두 재 스케일링 지수 분포로 형성되었다; 베타 분포예를 들어 끝이 무한대로 향하는 꼬리가 없으며 대신 날카로운 컷오프가 있지만 중간에 여전히 "혹"모양이있을 수 있습니다. 실제로 매개 변수를 사용하여 일종의 "뒤틀린 혹"또는 심지어 "U"모양을 얻을 수도 있습니다. 연결된 Wikipedia 페이지의 갤러리는 해당 배포의 유연성에 대해 매우 유익합니다. 마지막으로 삼각 분포 는 유한지지에 대한 또 다른 간단한 분포이며, 종종 위험 모델링에 사용됩니다.
이 분포들 중 어느 것도 여러분의 데이터를 정확하게 설명하지 못하고, 비슷한 모양을 가진 다른 많은 분포가 존재하지만, "중간 및 대칭 대칭은 정상적인 것"이라는 오해를 다루고 싶었습니다. 연령 데이터에 물리적 한계가 있기 때문에 나이 데이터가 중간에 "허가"된 경우 베타와 같은 유한 지원 분포 또는 삼각 분포가 정규 꼬리처럼 무한 꼬리를 갖는 것보다 더 나은 모형을 여전히 입증 할 수 있습니다. 데이터가 실제로 정규 분포되어 있더라도 표본 크기가 상당히 크지 않으면 막대 그래프가 클래식 "종"과 유사하지 않을 수 있습니다. Laplace와 같은 분포에서 얻은 표본조차도 pdf가 커스텀으로 인해 정상과 명확하게 구분됩니다.
R 코드
par(mfrow=c(3,2))
plot(dnorm, -3, 3, ylab="probability density", main="Normal(0,1)")
plot(function(x){dt(x, df=1)}, -3, 3, ylab="probability density", main="Cauchy")
plot(function(x){dt(x, df=5)}, -3, 3, ylab="probability density", main="t with 5 df")
plot(function(x){0.5*exp(-abs(x))}, -3, 3, ylab="probability density", main="Laplace(0,1)")
plot(function(x){dbeta(x, shape1=2, shape2=2)}, ylab="probability density", main="Beta(2,2)")
plot(function(x){1-0.5*abs(x)}, -1, 1, ylab="probability density", main="Triangular")
par(mfrow=c(3,2))
normalhist <- function(n) {hist(rnorm(n), main=paste("Normal sample, n =",n), xlab="x")}
laplacehist <- function(n) {hist(rexp(n)*(1 - 2*rbinom(n, 1, 0.5)), main=paste("Laplace sample, n =",n), xlab="x")}
# No random seed is set
# Re-run the code to see the variability in histograms you might expect from sample to sample
normalhist(50); laplacehist(50)
normalhist(100); laplacehist(100)
normalhist(200); laplacehist(200)