다변량 가우스 분포에서 값 생성

I는 현재의 시뮬레이션 값을 시도하고 $N$ 차원 랜덤 변수 $X$ 의 평균 벡터 다변량 정규 분포를 갖는 $\mu = (\mu_1,...,\mu_N)^T$ 및 공분산 행렬 $S$ .

역 CDF 방법과 유사한 절차를 사용하고 싶습니다. 먼저 $N$ 차원의 균일 랜덤 변수 생성 한 $U$ 다음이 분포의 역 CDF에 연결하여 값 를 생성 하고 싶습니다. $X$ .

절차가 잘 문서화되어 있지 않고 MATLAB 의 mvnrnd 함수 와 Wikipedia에서 찾은 설명 간에 약간의 차이가 있기 때문에 문제가 있습니다 .

필자의 경우 분포의 매개 변수를 임의로 선택합니다. 특히, 균일 분포 에서 각 평균 생성합니다 . 그런 다음 다음 절차를 사용하여 공분산 행렬 를 작성합니다. $\mu_i$ $U(20,40)$ $S$

하 삼각 행렬 생성 위한 및 에 대한 $L$ $L(i,i) = 1$ $i=1..N$ $L(i,j) = U(-1,1)$ $i < j$
하자. 여기서 는 의 전치를 나타낸다 . $S = LL^T$ $L^T$ $L$

이 절차를 통해 가 대칭적이고 양의 명확한 지 확인할 수 있습니다. 또한 더 낮은 삼각 행렬 하므로 $S$ $L$ $S = LL^T$ 이므로 분포에서 값을 생성해야합니다.

Wikipedia의 지침을 사용하여 다음과 같이 차원 유니폼을 사용하여 값을 생성 할 수 있어야 합니다. $X$ $N$

$X = \mu + L * \Phi^{-1}(U)$

그러나 MATLAB 함수에 따르면 일반적으로 다음과 같이 수행됩니다.

$X = \mu + L^T * \Phi^{-1}(U)$

여기서 은 차원, 분리 가능, 정규 분포 의 역 CDF이며 두 방법의 유일한 차이점은 단순히 또는 $\Phi^{-1}$ $N$ $L$ 입니다. $L^T$

MATLAB 또는 Wikipedia가 갈 길입니까? 아니면 둘 다 잘못 되었습니까?

— 버크 U.
소스

언급했듯이

는 행 벡터이고

는 열 벡터 여야 하므로 둘 다 잘못되었습니다 . 당신이 당신의 행과 열이 밖으로 곧게받을 때,이 문제는 단순히의 버전을 확인하여 자신을 대답해야합니다

또는

μ

$\mu$

T * i n v n o r m (U)

$T * invnorm(U)$

(X - μ)^{'} (X - μ)

$(X-\mu)'(X-\mu)$

(X - μ) (X - μ)^{'}

$(X-\mu)(X-\mu)'$ 행렬을 제공하고 어떤 버전에 숫자 만 제공합니다. 행렬 버전의 기대치를 계산할 수 있고

제공하는지 확인하십시오 .

S

$S$

— whuber

@whuber Yeap. 질문 형식을 변경했습니다. 팁 주셔서 감사합니다-확인하는 가장 쉬운 방법.

— Berk U.

경우 를 설정하면 다음, 표준 정규 RV의의 열 벡터이다 ,의 공분산 이다 $X \sim \mathcal{N}(0,I)$ $Y = L X$ $Y$ $L L^T$ .

matlab의 mvnrnd 함수가 평균을 열 벡터로 지정하더라도 행 벡터를 샘플로 반환 한다는 사실 때문에 문제가 발생할 수 있다고 생각합니다 . 예를 들어

 > size(mvnrnd(ones(10,1),eye(10))  
 > ans =
 >      1    10

행 벡터를 변환하면 반대의 수식이 제공됩니다. 만약 행 벡터 다음 인 되도록, 또한 행 벡터이고, 열 벡터이고, 공분산 기록 될 수 . $X$ $Z = X L^T$ $Z^T = L X^T$ $Z^T$ $E[Z^TZ] = LL^T$

비록 당신이 쓴 것에 기초하여, Wikipedia 공식은 정확합니다 : 만약 가 matlab에 의해 반환 된 행 벡터라면, 왼쪽 곱할 수 없습니다 . (그러나 오른쪽 곱하면 공분산이 동일한 표본이 제공됩니다 ). $\Phi^{-1}(U)$ $L^T$ $L^T$ $LL^T$

— 질로
소스

N

$N$

D

$D$

N

$N$

D

$D$

N \times D

$N \times D$