Wilcoxon 검정

윌 콕슨이 순위 테스트는 서명의 그것은 점근 상대 효율 (ARE) 것으로 잘 알려져있다 학생에 비해 t -test, 데이터는 정규 분포를 인구에서 도출되는 경우. 이것은 기본 1 샘플 테스트와 2 개의 독립적 인 샘플 (Wilcoxon-Mann-Whitney U)의 변형 모두에 해당됩니다. 또한 정상 데이터의 경우 ANOVA F 테스트와 비교 한 Kruskal-Wallis 테스트의 ARE입니다 . $\frac{3}{\pi} \approx 0.955$

이 "놀랍게도 ( 의 가장 예상치 못한 외관 $\pi$ "중 하나 ) 놀랍도록 간단한 결과는 통찰력, 놀랍거나 간단한 증거를 가지고 있습니까?

— 은어
소스

의 모양을 감안할 때 일반 CDF에서을의 모양 에 정말 안 내용입니다 모두 놀랄 것이다. 답변을 드릴 수는 있지만 좋은 답변을 얻으려면 시간이 걸립니다.

π

$\pi$

π

$\pi$

— Glen_b-복지 주 모니카

@Glen_b 참으로-나는 왜 통계가 " 가 통계에 너무 많이 나타나는지"(CV에 있었는지 여부는 기억할 수 없지만) 토론하고 "정규 분포 때문에"많이 자라는 것을 알았습니다. 그러나 는 처음 볼 때 여전히 놀랍습니다. 비교를 위해 Mane-Whitney의 ARE 대 2- 표본 t- 검정은 지수 데이터에서 3, 이중 지수에서 1.5, 균일에서 1-훨씬 더 둥글다!

π

$\pi$

3 / π

$3/\pi$

— Silverfish

@Silverfish 나는 van der Vaart "Asymptotic Statistics"의 197 페이지를 링크했다. 1- 표본의 부호 테스트는 t- 테스트에 비해 입니다.

2 / π

$2/\pi$

— Khashaa

@Silverfish ... 그리고 물류에서는 입니다. 포함하는 잘 알려진 ARE (하나 또는 두 개의 샘플 경우) 가 있고 정수의 단순한 비율 인 꽤 있습니다.

(π / 3)^{2}

$(\pi/3)^2$

π

$\pi$

— Glen_b-복지 모니카

1 표본 부호있는 순위 테스트의 경우 것 같습니다 . 1 표본 부호 검정의 경우 입니다. 그래서 우리는 우리의 입장을 분명히했습니다. 나는 그것이 좋은 징조라고 생각합니다.

3 / π

$3/\pi$

2 / π

$2/\pi$

— Khashaa

답변:

1- 표본 검정, 서명 된 테스트 및 서명 된 순위 테스트에 대한 ARE의 간략한 스케치 $t$

@Glen_b의 긴 답변에는 2 샘플 부호있는 순위 테스트에 대한 자세한 분석과 ARE의 직관적 인 설명이 포함되어 있다고 생각합니다. 그래서 나는 대부분의 파생을 건너 뛸 것입니다. (1 샘플 사례의 경우 Lehmann TSH에서 누락 된 세부 사항을 찾을 수 있습니다).

테스트 문제 : 을 위치 모델 에서 임의의 샘플로 대칭 대칭으로합니다. 우리는 t- 검정에 대한 가설 대한 부호있는 검정, 부호있는 순위 검정의 ARE를 계산 해야합니다. $X_1,\ldots,X_n$ $f(x-\theta)$ $H_0: \theta=0$

테스트의 상대적인 효율성을 평가하기 위해 일관된 테스트가 고정 된 대안에 비해 1의 힘을 갖는 경향이 있기 때문에 로컬 대안 만 고려됩니다. 사소한 점 근력을 유발하는 국소 대안은 종종 일부 문헌에서는 고정 된경우 ,Pitman drift라고합니다. $\theta_n=h/\sqrt{n}$ $h$

우리의 임무는

null 아래에서 각 검정 통계량의 한계 분포를 찾습니다.
대안 아래에서 각 검정 통계량의 한계 분포를 찾으십시오.
각 테스트의 국소 점 근력 계산

통계 및 무증상 테스트

t- 검정 ( 가 존재 함 ) t n = √t N = √
$t_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X}}{\hat{σ}} \to_{d} N (0, 1) under the null$

$t_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X}}{\hat{σ}} \to_{d} N (h / σ, 1) under the alternative θ = h / \sqrt{n}$
- 따라서 가 점근 검정력 함수 인지 여부를 기각하는 $t_n>z_\alpha$ $1 - Φ (z_{α} - h \frac{1}{σ})$ $1-\Phi\left(z_\alpha-h\frac{1}{\sigma}\right)$
서명 된 테스트 $S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}1\{X_i>0\}$ $\sqrt{n} (S_{n} - \frac{1}{2}) \to_{d} N (0, \frac{1}{4}) under the null$ $\sqrt{n}\left(S_n-\frac{1}{2}\right)\to_dN\left(0,\frac{1}{4}\right)\quad \text{under the null }$ 국소 점 근력 $\sqrt{n} (S_{n} - \frac{1}{2}) \to_{d} N (h f (0), \frac{1}{4}) under the alternative$ $\sqrt{n}\left(S_n-\frac{1}{2}\right)\to_dN\left(hf(0),\frac{1}{4}\right)\quad \text{under the alternative }$ $1 - Φ (z_{α} - 2 h f (0))$ $1-\Phi\left(z_\alpha-2hf(0)\right)$
부호있는 순위 검정 $W_{n} = n^{- 2 / 3} \sum_{i = 1}^{n} R_{i} 1 {X_{i} > 0} \to_{d} N (0, \frac{1}{3}) under the null$ $W_n=n^{-2/3}\sum_{i=1}^{n}R_i1\{X_i>0\}\to_dN\left(0,\frac{1}{3}\right)\quad \text{under the null }$ 국소 점 근력 $W_{n} \to_{d} N (2 h \int f^{2}, \frac{1}{3}) under the alternative$ $W_n\to_dN\left(2h\int f^2,\frac{1}{3}\right)\quad \text{under the alternative }$ $1 - Φ (z_{α} - \sqrt{12} h \int f^{2})$ $1-\Phi\left(z_\alpha-\sqrt{12}h\int f^2\right)$

A R E (S_{n}) = (2 f (0) σ)^{2}

$ARE(S_n)=(2f(0)\sigma)^2$

A R E (W_{n}) = (\sqrt{12} \int f^{2} σ)^{2}

$ARE(W_n)=(\sqrt{12}\int f^2\sigma)^2$

f

$f$

A R E (S_{n}) = 2 / π

$ARE(S_n)=2/\pi$

A R E (W_{n}) = 3 / π

$ARE(W_n)=3/\pi$

$f$ $ARE(S_n)=1/3$ $ARE(W_n)=1/3$

대안에 따른 배포 유도에 대한 언급

물론 대안 하에서 제한 분포를 도출하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 일반적인 접근 방법 중 하나는 Le Cam의 세 번째 음모를 사용하는 것입니다. 그것의 단순화 된 버전 상태

$\Delta_n$ $W_n$
$(W_{n}, Δ_{n}) \to_{d} N [(\begin{matrix} μ \\ - σ^{2} / 2 \end{matrix}), (\begin{array}{cc} σ_{W}^{2} & τ \\ τ & σ^{2} / 2 \end{array})]$ $(W_n,\Delta_n)\to_d N\left[\left(\begin{array}{c} \mu\\ -\sigma^2/2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} \sigma^2_W & \tau \\ \tau & \sigma^2/2 \end{array}\right)\right]\\$ $W_{n} \to_{d} N (μ + τ, σ_{W}^{2}) under the alternative$ $W_n\to_d N\left(\mu+\tau,\sigma^2_W\right)\quad\text{under the alternative}$

$\mathrm{cov}(W_n,\Delta_n)$ $\Delta_n$

Δ_{n} \approx \frac{h}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} l (X_{i}) - \frac{1}{2} h^{2} I_{0}

$\Delta_n\approx \frac{h}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}l(X_i)-\frac{1}{2}h^2I_0$

l

$l$

I_{0}

$I_0$

S_{n}

$S_n$

c o v (\sqrt{n} (S_{n} - 1 / 2), Δ_{n}) = - h c o v (1 {X_{i} > 0}, \frac{f^{'}}{f} (X_{i})) = h \int_{0}^{\infty} f^{'} = h f (0)

$\mathrm{cov}(\sqrt{n}(S_n-1/2),\Delta_n)=-h\mathrm{cov}\left(1\{X_i>0\},\frac{f'}{f}(X_i)\right)=h\int_0^\infty f'=hf(0)$

— 카샤
소스

+1 나는 아주 많은 세부 사항에 들어 가지 않을 것입니다 (실제로 당신의 대답이 이미 아주 잘 다루고 있습니다. 아마도 지금 가지고있는 것에 아무것도 추가하지 않을 것입니다). 더 자세하게 설명하고 싶다면, 내 계정을 보류하지 마십시오. 나는 며칠이

— 지났지

이것은 특히 Le Cam의 정리 (+1)를 추가 할 때 좋은 대답입니다. 1, 2, 3의 무증상 설정과 ARE를 작성하는 "따라서"비트 사이에 상당히 큰 점프가있는 것 같습니다. 필자가이 글을 쓰고 있다면이 시점에서 점근 효율을 정의 할 것입니다. 미래 독자들이 따라하기가 훨씬 쉬워 질 것입니다.

— Silverfish

H_{1}

$H_1$

답변을 수정하거나 OP에 추가하십시오.

— Khashaa

*

$*$

$\pi$ $t$ $Y$ $t$ $n\rightarrow \infty$ $\frac{\pi}{3}$

n <- 1000000; x <- qnorm((1:n)/(n+1)); cor(1:n, x)^2; 3/pi
[1] 0.9549402
[1] 0.9549297
n <- 100000000; x <- qnorm((1:n)/(n+1)); cor(1:n, x)^2; 3/pi
[1] 0.9549298
[1] 0.9549297

— 프랭크 하렐
소스

이것은 실제로 매우 유용한 의견입니다. 약간 개념적으로 수행하기에 더 n <- 1e6; x <- rnorm(n); cor(x, rank(x))^2가까운가?

— Silverfish

(Frank의 의견에 흥미를 느끼는 사람들 은 Wilcoxon-Mann-Whitney U의 동등성과 순위에 대한 t- 테스트에 관한이 질문 을보고 싶을 수도 있습니다 .)

— Silverfish

n

$n$

n

$n$

n

$n$

내 기억으로는 Wilcoxon 부호가있는 순위 테스트와 WMW의 작은 샘플 효율은 정규 분포에서 시프트 대안에 대한 점근 값보다 약간 낮습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

$12\sigma^2[\int f^2(x) dx]^2$ $f$ $\sigma$

$f^2$ $f$ $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ $\frac{ \;}{\pi}$

부호가있는 순위 테스트의 ARE에 동일한 정수 (통합 포함)가 포함되므로 동일한 값을 갖습니다.

$4\sigma^2f(0)^2$ $f(0)^2$ $\frac{ \;}{\pi}$

$\pi$

참고:

JL Hodges와 EL Lehmann (1956),
"t- 테스트의 일부 비모수 적 경쟁 업체의 효율성",
Ann. 수학. 통계 학자. , 27 : 2, 324-335.

— Glen_b-복귀 모니카
소스

π

$\pi$

\int f^{2} d x

$\int f^2 dx$

α = 2

$\alpha=2$