미리 지정된 희소성 패턴을 사용하여 대칭 양수 한정 행렬 생성

상관 행렬을 생성하려고합니다. $p\times p$ 미리 지정된 희소성 구조를 갖는 (대칭 psd) $p$노드). 그래프에 연결된 노드는 상관 관계가 있습니다$\rho \sim U(0,1)$나머지는 모두 0이고 대각선은 모두 1입니다.

이 행렬을 여러 번 생성하려고 시도했지만 유효한 상관 관계 행렬을 거의 얻지 못했습니다.

상관 행렬 whp를 보장 할 수있는 방법이 있습니까? 긍정적 인 상관 관계 만 가질 수 있으므로$\rho \sim U(-1,1)$ 등은 옵션이 아닙니다.

어떤 도움이라도 대단히 감사합니다!

@Rodrigo de Azevedo의 시가는 닫히지 않습니다.

해결책은 반정의 프로그래밍을 사용하여 최대 값을 찾는 것입니다. $\rho_{max}$, 최소값 (음이 아닌 값), $\rho_{min}$, 의 $\rho$규정 된 희소성 패턴을 갖는 상관 행렬이 양의 반정의 (psd)가되도록. 모든 가치$\rho$ 그런 $\rho_{max}\le \rho \le \rho_{max}$, psd 매트릭스 생성 (리더를위한 운동)

따라서 분포를 선택해야합니다. $\rho$ 값만 취할 수있는 $[\rho_{max},\rho_{max}]$또는 수락 / 거부를 ​​사용하고 생성 된 값을 거부해야합니다. $\rho$ psd 행렬을 생성하지 않습니다.

MATLAB에서 YALMIP를 사용하는 4 x 4 행렬의 예

sdpvar rho % declare rho to be a scalar variable
% find maximum value of rho (by minimizing -rho) subject to prescribed matrix being psd.
optimize([1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,-rho) 
% find minimum value of rho subject to prescribed matrix being psd and rho being >= 0.
optimize([[1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,rho >= 0],rho) 

결과 : 최대 rho = 0.57735, 최소 rho = 0. 치수 또는 희소성 패턴에 관계없이, rho가 비 음성이고 규정 된 행렬이 psd 인 rho의 최소값이 0이라는 것은 명백하다. 따라서 음이 아닌 최소값을 찾기 위해 반 정밀도 최적화를 실행할 필요가 없습니다.$\rho$.

상관 행렬은 대칭이고 양의 반올림이며 $1$주요 대각선에 있습니다. 하나를 찾을 수 있습니다$n \times n$목적 함수가 임의 인 제로 함수 인 다음의 반정의 프로그램 (SDP) 을 해결함으로써 상관 행렬

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

희소성 제한 조건과 같은 추가 제한 조건이있는 경우

$$x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]$$

비 음성 제약 $\mathrm X \geq \mathrm O_n$다음 SDP를 해결합니다.

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]\\ & \mathrm X \geq \mathrm O_n\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

---

ㅏ $3 \times 3$ 예

우리가 갖고 싶어한다고 가정하자 $x_{13} = 0$ 과 $x_{12}, x_{23} \geq 0$. MATLAB + CVX 스크립트 는 다음과 같습니다 .

cvx_begin sdp

    variable X(3,3) symmetric

    minimize( trace(zeros(3,3)*X) )
    subject to

        % put ones on the main diagonal
        X(1,1)==1
        X(2,2)==1
        X(3,3)==1

        % put a zero in the northeast and southwest corners
        X(1,3)==0

        % impose nonnegativity
        X(1,2)>=0
        X(2,3)>=0

        % impose positive semidefiniteness
        X >= 0

cvx_end

스크립트를 실행하면

Calling sedumi: 8 variables, 6 equality constraints
------------------------------------------------------------
SeDuMi 1.21 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 6, order n = 6, dim = 12, blocks = 2
nnz(A) = 8 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            3.00E+000 0.000
  1 : -1.18E-001 6.45E-001 0.000 0.2150 0.9000 0.9000   1.86  1  1  1.2E+000
  2 : -6.89E-004 2.25E-002 0.000 0.0349 0.9900 0.9900   1.52  1  1  3.5E-001
  3 : -6.48E-009 9.72E-007 0.097 0.0000 1.0000 1.0000   1.01  1  1  3.8E-006
  4 : -3.05E-010 2.15E-009 0.000 0.0022 0.9990 0.9990   1.00  1  1  1.5E-007
  5 : -2.93E-016 5.06E-015 0.000 0.0000 1.0000 1.0000   1.00  1  1  3.2E-013

iter seconds digits       c*x               b*y
  5      0.3   5.8  0.0000000000e+000 -2.9302886987e-016
|Ax-b| =  1.7e-015, [Ay-c]_+ =  6.1E-016, |x|= 2.0e+000, |y|= 1.5e-015

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
1.563E-001    2.500E-001    1.094E-001    
Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.
------------------------------------------------------------
Status: Solved
Optimal value (cvx_optval): +0

CVX가 찾은 솔루션을 보자.

>> X

X =

    1.0000    0.4143         0
    0.4143    1.0000    0.4143
         0    0.4143    1.0000

이 행렬은 반정 수입니까? 긍정적 인 결정?

>> rank(X)

ans =

     3

>> eigs(X)

ans =

    1.5860
    1.0000
    0.4140

예상 한대로 양수입니다. 0이 아닌 (선형) 목적 함수를 선택하여 양의 반정의 상관 행렬을 찾을 수 있습니다.