관련 합계에서만 가방에 과일의 질량을 추정합니까?

우리 대학의 강사가 이와 같은 질문을했습니다 (수업이 끝나서 수업에 참여하지 않았기 때문에 숙제가 아님). 접근 방법을 알 수 없습니다.

문제는 각각 다른 종류의 과일을 포함하는 2 봉지에 관한 것입니다.

첫 번째 가방에는 다음과 같이 무작위로 선택된 과일이 들어 있습니다.

+ ------------- + -------- + --------- +
| 직경 cm | 질량 g | 썩은? |
+ ------------- + -------- + --------- +
| 17.28 | 139.08 | 0 |
| 6.57 | 91.48 | 1 |
| 7.12 | 74.23 | 1 |
| 16.52 | 129.8 | 0 |
| 14.58 | 169.22 | 0 |
| 6.99 | 123.43 | 0 |
| 6.63 | 104.93 | 1 |
| 6.75 | 103.27 | 1 |
| 15.38 | 169.01 | 1 |
| 7.45 | 83.29 | 1 |
| 13.06 | 157.57 | 0 |
| 6.61 | 117.72 | 0 |
| 7.19 | 128.63 | 0 |
+ ------------- + -------- + --------- +

두 번째 백에는 첫 번째 백과 같은 상점에서 무작위로 선택한 6 개의 과일이 들어 있습니다. 지름의 합은 64.2 cm이고 4가 썩었습니다.

두 번째 백의 질량을 추정하십시오.

직경과 질량이 보통으로 분포 된 두 가지 종류의 과일이있는 것처럼 보이지만 진행 방법에 대해 잃어 버렸습니다.

데이터를 플로팅하여 시작해 봅시다. 이것은 매우 제한된 양의 데이터이므로 많은 가정 으로 다소 임시적 입니다.

rotten <- c(0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0)
rotten <- as.factor(rotten)
mass <- c(139.08, 
        91.48,
        74.23,
        129.8,
        169.22,
        123.43,
        104.93,
        103.27,
        169.01,
        83.29,
        157.57,
        117.72,
        128.63)
diam <- c(17.28,
        6.57,
        7.12,
        16.52,
        14.58,
        6.99,
        6.63,
        6.75,
        15.38,
        7.45,
        13.06,
        6.61,
        7.19)

plot(mass,diam,col=rotten,lwd=2)
title("Fruits")

따라서 이것은 데이터이며, 빨간 점은 썩은 과일을 나타냅니다.

두 종류의 과일이 있다고 가정하면 옳습니다. 내가 가정하는 것은 다음과 같습니다.

• 직경은 과일을 두 그룹으로 나눕니다.
• 직경이 10보다 큰 과일은 한 그룹에, 다른 그룹은 더 작은 그룹에 속합니다.
• 큰 과일 그룹에는 썩은 과일이 하나뿐입니다. 과일이 큰 그룹에 있다면 썩은 것이 체중에 영향을 미치지 않는다고 가정 해 봅시다. 해당 그룹에는 하나의 데이터 포인트 만 있기 때문에 이것은 필수입니다.
• 과일이 작은 과일이면 썩은 것이 덩어리에 영향을 미칩니다.
• 변수 diam과 mass가 정상적으로 분포되어 있다고 가정합시다.

지름의 합이 64.2cm라고 가정하기 때문에 과일 2 개가 크고 과일 4 개가 작을 가능성이 높습니다. 이제 무게에 대한 세 가지 경우가 있습니다. 썩은 과일은 2 개, 3 개 또는 4 개가 있습니다 ( 썩은 과일은 질량에 영향을 미치지 않습니다 ). 이제이 값을 계산하여 질량에 한계를 설정할 수 있습니다.

작은 과일 수가 썩을 확률을 경험적으로 추정 할 수 있습니다. 우리는 확률을 사용하여 썩은 과일의 수에 따라 질량의 추정치를 가중합니다.

samps <- 100000
stored_vals <- matrix(0,samps,2)
for(i in 1:samps){
  numF <- 0 # Number of small rotten
  numR <- 0 # Total number of rotten
  # Pick 4 small fruits
  for(j in 1:4){
    if(runif(1) < (5/8)){ # Empirical proportion of small rotten
      numF <- numF + 1
      numR <- numR + 1
    } 
  }
  # Pick 2 large fruits
  for(j in 1:2){
    if(runif(1) < 1/5){# Empirical proportion of large rotten
      numR <- numR + 1
    }
  }
  stored_vals[i,] <- c(numF,numR)
}

# Pick out samples that had 4 rotten
fourRotten <- stored_vals[stored_vals[,2] == 4,1]
hist(fourRotten)

table(fourRotten)

# Proportions 
props <- table(fourRotten)/length(fourRotten)

massBig <- mean(mass[diam>10])
massSmRot <- mean(mass[diam<10 & rotten == 1])
massSmOk <- mean(mass[diam<10 & rotten == 0])

weights <- 2*massBig + c(2*massSmOk+2*massSmRot,1*massSmOk+3*massSmRot,4*massSmRot)

Est_Mass <- sum(props*weights) 

우리에게 691.5183g 의 최종 견적을 제공 합니다. 나는 결론에 도달하기 위해 가정 한 대부분의 가정을해야한다고 생각하지만, 더 현명한 방법으로이 작업을 수행 할 수 있다고 생각합니다. 또한 나는 썩은 작은 과일의 수의 확률을 얻기 위해 경험적으로 샘플링합니다. 그것은 단지 게으름이며 "분석적으로"수행 될 수 있습니다.

다음과 같은 접근법을 제안합니다.

1. 4 개의 썩은 조건을 만족하는 6 개의 튜플을 모두 생성하십시오. 그들은${6\choose 4}{7\choose 2}$.
2. 생성 된 튜플 중에서 직경 조건을 만족하는 튜플 중에서 선택하십시오.
3. 선택한 튜플의 평균 무게를 계산합니다 (일반적인 산술 평균).

이 모든 것은 간단한 스크립트로 관리 할 수 ​​있습니다.

가장 간단한 것부터 복잡한 것까지 다양한 접근법이 있습니다.

1. 6 (평균 질량)
2. 6 (평균 부피) (평균 밀도)
3. 4 (평균 썩은 질량) + 2 (평균 썩지 않은 질량)
4. 4 ((평균 썩은 부피) + 2 (평균 썩지 않은 부피)) (평균 밀도)
5. 4 (평균 썩은 부피) (평균 썩은 밀도) + 2 (평균 썩지 않은 부피) (평균 썩지 않은 밀도)

. . .

조합 방법

접근 방식은 계산이 간단하거나 순서가 좋은 순서가 아닌 순서대로 정렬됩니다. 어떤 접근 방식을 선택할지는 인구의 어떤 특성이 알려 지거나 가정되는지에 달려 있습니다. 예를 들어, 점포 모집단의 과일 덩어리가 일반적으로 분포되고 직경 및 썩음 상태와 무관하면 더 복잡한 접근법을 사용하는 이점 (또는 여러 변수의 샘플링 오류의 단점)없이 가장 간단한 첫 번째 접근법을 사용할 수 있습니다 . 독립적으로 동일하게 분포 된 랜덤 변수가 아닌 경우, 모집단에 대한 알려진 또는 추정 된 정보에 따라 더 복잡한 선택이 더 나을 수 있습니다.