유형 I 및 II 오류의 확률이 음의 상관 관계가 있습니까?

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I는 타입 I의 에러의 확률로 있다고하는 TA 명시된 교수라고 초등학교 통계 클래스 증가 유형 II 에러의 확률 감소하고, 그 반대가 아니라 사실이다. 따라서 이것은 입니다. $\alpha$ $\beta$ $\rho_{\alpha, \beta} < 0$

그러나 일반적인 가설 검정에서 이것을 어떻게 증명할 수 있습니까? 그 진술은 일반적으로 사실입니까?

특정 사례 (예 및 )를 시도 할 수는 있지만 분명히이 질문을 처리하기에는 충분하지 않습니다. $H_0: \mu = \mu_0$ $H_1: \mu < \mu_0$

probability hypothesis-testing type-i-and-ii-errors

— 클라리넷
소스

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이 양 ( $\alpha$ 및 $\beta$ )은 무작위 변수가 아니므로 피어슨 상관 관계에 대해 주저합니다. 어떤 의미로 적용되는지 잘 모르겠습니다.

두 부정적인 합리적으로 일반적 의미에서 관련 (하지만 * 아래 참조) - 그리고 (샘플 크기와 당신이 계산되는 효과 크기와 같은 다른 것들 잡고 변경하는 경우 - 동일) 한 후, 반대 방향 (특히, 일반적인 상황에서, 이동 의 함수이다 ;를 판정하는데 충분한 수량을 지정 그것은에 따라 달라집니다 - 것, 가장 합리적인 상황에서 그 관계 - 종류 당신 실제 테스트에 사용하고 싶습니다-부정적인 영향을 미칩니다). $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$

예를 들어, 일부 전력 곡선을 고려하십시오. 를 이동 하면 전력 곡선 ( )이 위 또는 아래로 므로 곡선의 특정 지점 (곡선과 1 사이의 거리)의 는 증가함에 따라 감소 합니다. 다음은 양측 테스트 (예 : t- 테스트)를 사용한 예입니다. $\alpha$ $1-\beta$ $\beta$ $\alpha$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

한쪽 꼬리는 비슷하지만 위 그림의 오른쪽 절반에 초점을 맞 춥니 다 (그림의 왼쪽 절반에있는 두 개의 곡선은 0을 향해 내려갑니다)

* 그렇지 않아도되는 상황이 있습니다. Kolmogorov-Smirnov 테스트를 통해 유니폼 (0,1) 테스트를 고려하십시오.

대신에 우리는 (또는 실제로는 단위 간격을 벗어난 확률로 분포 에 균일 한 가능성을 고려해 봅시다 . $(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

(0,1)에없는 값을 관찰하면 Kolmogorov-Smirnov 테스트가 반드시 null을 거부하지는 않습니다. 그러나 Kolmogorov-Smirnov와 비슷한 두 번째 테스트 (KS * 테스트라고 함)를 수행 할 수 있습니다. 단, (0,1) 외부의 값을 관찰하면 일반적인 통계 여부에 관계없이 null을 거부합니다. 임계 값에 도달합니다.

그런 다음 (0,1) 이외의 확률을 갖는 대안에 대해서는 를 전혀 변경하지 않고 Type II 오류율 (일반 KS 테스트의 오류율)을 줄였습니다 . $\alpha$

$\dagger$ (이 경우 일반적으로 KS를 사용하는 것은 좋은 생각이 아니므로 가능성을 알고 있다면 대안에 대해 신중히 생각해야합니다)

— Glen_b-복귀 모니카
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하자 밀도로 나타내고, 관찰 또는 가설로서있어서 또는 사실이다. 하자 와 나타내는 결정 영역을 . 따라서 , 그리고 결정은 가 이면 참 입니다. 그런 다음 Type I 및 Type II 오류 확률은 $X$ $f_0(x)$ $f_1(x)$ $H_0$ $H_1$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$ $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$ $\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$ $H_i$ $X \in \Gamma_i$

\begin{aligned} (1) & P (Type I error) & = \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x \\ (2) & P (Type II error) & = \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x . \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$ 및 과 같은 두 개의 다른 결정 영역 및 고려하십시오 . 이제 적분이 더 큰 집합을 초과하므로 입니다. 새로운 의사 결정 규칙의 유형 I 오류 확률이 더 큽니다. 그러나 적분이 더 작은 세트를 초과하므로 새로운 결정 규칙은 Type II 오류 확률이 더 작습니다.

Γ_{0}^{'}

$\Gamma_0^\prime$

Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1^\prime$

Γ_{1} \subset Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$

Γ_{0}^{'} \subset Γ_{0}

$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$

\int_{Γ_{1}^{'}} f_{0} (x) d x \geq \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x

$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$

\int_{Γ_{0}^{'}} f_{1} (x) d x \leq \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x

$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$

— 디립 사르 베이트
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와 사이의 관계는 그들이 생각했던 활동과 관련하여 사실입니다 : 가설을 수용하거나 거부하기 위해 사용하는 임계 값 조정. 가양 성을 달성하기 어렵게 만드는 경우, 자연스럽게가 음성을 쉽게 달성 할 수 있어야합니다. 이 웹 사이트 는 와 의 관계를 그래픽으로 보여줍니다 . $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$

모든 활동에 관계가있는 것은 아닙니다. 명백한 예로서 테스트에서 샘플 수를 늘리면 와 동시에 줄일 수 있습니다 . 임계 값을 조정할 때만 관계가 보장됩니다. $\alpha$ $\beta$

— 코트 암몬
소스

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"관계 만"-답변의 끝이 잘린 것 같습니다.

— Silverfish