가 확률 밀도 함수일 때 를 찾는 방법 은 무엇입니까?

이 문제를 어떻게 해결할 수 있습니까? 중간 방정식이 필요합니다. 아마도 대답은 입니다.$-tf(x)$

$$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$$

$f(x)$ 는 확률 밀도 함수입니다.

즉, 및 \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} F (x) = 1$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$$\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

출처 : http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

아래의 중간 방정식을 시도하십시오.

$$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$$

$$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$$

정의에 따르면 미분 ( 존재하는 경우 )은 차이 몫의 한계입니다.

$$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$$

로 .$h\to 0$

충분히 작은 대해 간격 내에서 가 연속 한다고 가정하면 , 는이 간격 전체에 걸쳐 연속적 일 것이다. 그런 다음 평균값 정리 는 과 사이에 가 있다고 주장 합니다.$f$$[t, t+h)$$h\gt 0$$x f$$h^{*}$$0$$h$

$$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$$

마찬가지로 반드시 과의 연속성 근처 그 좌측이 제한되어 동일한 의미 .$h\to 0$$h^{*}\to 0$$f$$t$$-t f(t)$

(이 분석에는 원래 부적절한 정수 의 존재에 대한 추론이 필요하지 않습니다 .)$\int_t^\infty x f(x) dx$

그러나, 분포 밀도가 때에도 , 그 농도가 연속적 일 필요는 없다. 불연속 점에서 차이 몫은 왼쪽과 오른쪽 한계가 다를 수 있습니다. 미분은 존재하지 않습니다.$f$

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이것은 실무자들이 무시할 수있는 일부 신비한 수학적 "병리학"으로 무시 될 수있는 문제가 아니다. 많은 일반적이고 유용한 배포판의 PDF에는 불연속 점이 있습니다. 예를 들어, 균일 분포는 와 에서 불연속 PDF를 갖습니다 . 감마 분포는 때 에서 불연속적인 PDF를 갖습니다 (유비쿼터스 지수 분포 및 일부 분포 포함). 등등. 따라서 신중한 자격없이 대답은 단지 라는 주장을하지 않는 것이 중요합니다. 그것은 실수 일 것입니다.$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$0$$a\le 1$$\chi^2$$-t f(t)$

해결 ...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

모두 감사합니다!!!