우도 함수 계산 방법

3 가지 전자 부품의 수명은 및 입니다. 이 변수는 매개 변수를 사용하여 지수 분포에서 크기가 3 인 랜덤 표본으로 모델링되었습니다 . 가능성 함수는$X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$$X_{3} = 2.1$$\theta$$\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ , 여기서 입니다.$x = (2, 1.5, 2.1)$

그리고 문제는 를 최대화 하는 값을 찾아 MLE을 결정하는 과정으로 진행됩니다 . 제 질문은 우도 함수를 어떻게 결정합니까? 지수 분포의 pdf를 찾았지만 다릅니다. 문제에서 우연의 가능성 함수가 항상 제공됩니까? 아니면 스스로 결정해야합니까? 그렇다면 어떻게?$\theta$$log f_{3}(x|\theta)$

표본의 우도 함수는 포함 된 임의의 변수의 결합 밀도이지만 이러한 임의의 변수로부터의 특정 실현 샘플이 제공된 경우 알려지지 않은 매개 변수의 함수로 간주됩니다.

귀하의 경우, 여기에 이러한 전자 부품의 수명이 각각 다음과 같습니다 (즉, 한계 분포가 있음), 동일한 속도 매개 변수 갖는 지수 분포 이므로 한계 PDF는 다음과 같습니다.$\theta$

$$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$$

또한 각 구성 요소의 수명은 다른 구성 요소의 수명과 완전히 독립적 인 것으로 보입니다. 이 경우 조인트 밀도 함수는 세 밀도의 곱입니다.

$$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

이것을 표본의 우도 함수로 바꾸기 위해 의 특정 표본이 주어지면 의 함수로 간주합니다 .$\theta$$x_i$

$$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

왼쪽 만 변경된 경우 함수의 변수로 간주되는 것을 나타냅니다. 귀하의 경우 사용 가능한 샘플은 관찰 된 세 가지 수명 이므로 입니다. 그렇다면 가능성은$\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$$\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$

$$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$$

다시 말해, 당신이받은 가능성에 따라, 이용 가능한 특정 샘플이 이미 삽입되어 있습니다. 이것은 일반적으로 수행되지 않습니다. 즉, 일반적인 의 가능성에 대한 이론적 표현에서 일반적으로 "중지" 한 다음 대한 최대화 조건을 도출 한 다음 특정 숫자를 최대화 조건에 연결합니다. 대한 특정 추정치를 얻기 위해 샘플 . $x_i$$\theta$$x$$\theta$

그럼에도 불구하고, 이와 같은 가능성을 살펴보면, 추론 (특정 분포 가정에 대해)에서 중요한 것은 실현 의 합계 이며 개별 값이 아니라는 사실을 더 명확하게 만들 수 있습니다 . 위의 가능성은 "샘플이 아닙니다" -특정 "이지만 오히려"실현-합-특정 ": 요소들의 합이 다시 인 다른 표본 이 주어지면 대한 동일한 추정치를 얻을 것입니다. 이는 가 "충분한"통계량 이라는 것을 의미합니다 . 이는 특정 분포 가정 하에서 표본이 추론에 제공 할 수있는 모든 정보를 포함합니다).$n=3$$6.6$$\theta$$\sum x$