지수 분포의 ML 추정 (검열 된 데이터 포함)

Survival Analysis에서는 rv 의 생존 시간 이 기하 급수적으로 분포 된 것으로 가정합니다 . 이제 i_1 rv의 의 "결과" 가 있다고 생각 합니다. 이러한 결과의 일부만이 실제로 "완전히 실현"됩니다. 즉, 나머지 관측치는 여전히 "살아 있습니다". $X_i$ $x_1,\dots,x_n$ $X_i$

분포 의 속도 모수 에 대해 ML 추정을 수행 하려면 실현되지 않은 관측 값을 일관된 / 적절한 방식으로 어떻게 활용할 수 있습니까? 나는 그들이 여전히 추정에 유용한 정보를 포함하고 있다고 생각합니다. $\lambda$

누군가이 주제에 관한 문헌을 안내해 줄 수 있습니까? 나는 그것이 존재한다고 확신한다. 그러나 주제에 대한 좋은 키워드 / 검색어를 찾는 데 문제가 있습니다.

— 좋은 사람 마이크
소스

따라서 측정 한 랜덤 변수에서 이라고 말하면 관측 값은 "완료된"수명을 나타내며 (관련된 임의의 변수는 측정시 "죽은") 나머지 관측 값은 측정시 "아직 살아남은"랜덤 변수의 생존 길이입니까? ( )

n

$n$

n_{1} < n

$n_1 < n$

n_{2} < n

$n_2 <n$

n_{1} + n_{2} = n

$n_1+n_2 = n$

— Alecos Papadopoulos 2012

이 모형은 절단 된 모형으로, 관측이 중지 될 때 "생존하는"임의 변수가 절단됩니다.

— 시안

잘린 데이터 및 관련 소스 (예 : 여기 )에 대해서는 Tobit 모델 을 확인 하십시오 .

— Richard Hardy

평생과 같이 일부 사람들이 사망 한 데이터를 검열 한 것처럼 보이지만 일부는 여전히 살아 있습니다. 따라서 알려진 상수 대해 만 알 수 있습니다.

x_{i} > t_{i}

$x_i > t_i$

t_{i}

$t_i$

— kjetil b halvorsen

두 상황 사이의 미묘한 차이에주의하십시오. 잘림이 검열을 위해 혼동되는 것은 드문 일이 아니며 그 반대도 마찬가지입니다.

— Alecos Papadopoulos

우도를 직접 사용하여 모수를 추정 할 수 있습니다. 관측치가 지수 분포와 알 수없는 되도록합니다 . 밀도 함수는 , 누적 분포 함수 및 꼬리 함수 입니다. 첫 번째 가정 , 관찰을 충분히 관찰을 잠시 동안 우리는 알고 몇 가지 알려진 양의 상수에 대한 $x_1, \dots, x_n$ $\lambda>0$ $f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$ $F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$ $G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$ $r$ $x_{r+1}, \dots, x_n$ $x_j > t_j$ $t_j$ . 항상 그렇듯이 가능성은 관측 된 관측치에 대한 "관측 된 데이터의 확률"입니다. 즉, 에 의해 제공되므로 전체 우도 함수는 로그 우도 함수는 는 첫 번째 용어 를 제외하고는 일반적으로 완전히 관찰 된 경우에 대한 로그 가능성과 동일한 형식을 갖 습니다. 장소입니다 . 관측치와 검열 시간의 평균에 대해 를 쓰면 의 최대 우도 추정값 은 $P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

엘 (λ) = \prod_{나는 = 1}^{아르 자형} 에프 ({엑스}_{나는}; λ) \cdot \prod_{나는 = 아르 자형 + 1}^{엔} 지 (티_{제이}; λ)

$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$

엘 (λ) = 아르 자형 로그 λ - λ ({엑스}_{1} + \dots + {엑스}_{아르 자형} + 티_{아르 자형 + 1} + \dots + 티_{엔})

$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$

r \log λ

$r\log\lambda$

n \log λ

$n\log\lambda$

T

$T$

λ

$\lambda$

\hat{λ} = \frac{r}{n T}

$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$ 은 완전히 관찰 된 사례와 비교할 수 있습니다.

 EDIT

모든 의견 이 검열 된 경우 즉, 어떤 사건 (사망)을 관찰 할만큼 오래 기다리지 않았다면 어떻게해야합니까? 이 경우 이므로 로그 우도는 즉 에서 선형 감소 합니다. 따라서 최대 값은 이어야합니다 ! 그러나 0은 비율 분포와 일치하지 않으므로 rate 매개 변수 유효한 값 이 아닙니다. 이 경우 최대 우도 추정기가 존재하지 않는다는 결론을 내려야합니다! 아마도 대한 일종의 신뢰 구간을 구성하려고 시도 할 수 있습니다. $r=0$

엘 (λ) = - 엔 티 λ

$l(\lambda) = -nT \lambda$

λ

$\lambda$

λ = 0

$\lambda=0$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$ 로그 가능성 함수를 기반으로? 이를 위해 아래를보십시오.

그러나 어쨌든,이 경우 데이터의 실제 결론은 이벤트가 발생할 때까지 더 많은 시간을 기다려야한다는 것입니다 ...

모든 관측치가 검열되는 경우 에 대해 (단일) 신뢰 구간을 구성하는 방법은 다음과 같습니다 . 이 경우의 우도 함수는 이며, 이는 우리가 모든 성공을 얻은 이항 실험의 우도 함수와 동일한 형식을 가지며 ( 이항 추정치에 대한 신뢰 구간 참조 ). 0 또는 1 ). 이 경우 에 대해 형식의 단측 신뢰 구간을 원합니다 . 그런 다음 를 해결 하여 간격을 얻습니다 . $\lambda$ $e^{-\lambda n T}$ $p^n$ $p$ $[\underset{\bar{}}{p}, 1]$ $\lambda$ $\log p = -\lambda T$

우리에 대한 신뢰 구간 얻을 해결하여 있도록 . 이것은 : 대한 신뢰 구간을 제공합니다 $p$

피 (엑스 = 엔) = 피^{엔} \geq 0.95 (말하다)

$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$

n \log p \geq \log 0.95

$n\log p \ge \log 0.95$

λ

$\lambda$

λ \leq \frac{- 로그 0.95}{엔 티} .

$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$

— 크 제틸 비 할보 르센
소스

질문과 답변을 읽고 " 모든 관측치가 이고 관측치가 완전히 관측되지 않은 두 번째 유형 인 경우 어떻게됩니까?"라고 생각했습니다. 이 사례를 확장명으로 답변에 포함시키는 것이 정말 유용합니다.

x_{j} > t_{j}

$x_j > t_j$

— Alecos Papadopoulos 2012