두 개의 독립적 인 균일 랜덤 변수의 곱의 pdf

하자 ~ 및 ~ 주어진 분포와 두 개의 독립적 인 확률 변수합니다. 의 분포는 무엇입니까 ?$X$$U(0,2)$$Y$$U(-10,10)$$V=XY$

나는 그것을 알고 회선을 시도했다

$$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$$

또한 , $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

H(V)=

$$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$$ $$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$$

0에 불연속 적이므로 이상한 점이 있습니다. 도와주세요.

훌륭하고 엄격하고 우아한 답변이 이미 게시되었습니다. 이것의 목적은 의 기본 구조를 조금 더 드러내는 방식으로 동일한 결과를 도출하는 것입니다 . 확률 밀도 함수 (pdf)가 에서 단수 여야하는 이유를 보여줍니다 .$XY$$0$

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구성 요소 분포의 형태 에 초점을 두면 많은 것을 달성 할 수 있습니다 .

• U ( 0 , 1 ) U ( 0 , 1 $X$ 는 랜덤 변수의 두 배 입니다. 은 모든 균일 분포의 표준 "nice"형태 특성입니다.$U(0,1)$$U(0,1)$

• U ( 0 , 1 $|Y|$ 랜덤 변수의 10 배 입니다.$U(0,1)$

• 의 부호는 Rademacher 분포를 따릅니다. 또는 과 같고 각각 확률은 입니다.- 1 1 1 /$Y$$-1$$1$$1/2$

(이 마지막 단계는 음이 아닌 변형을 주위의 대칭 분포로 변환합니다 . 두 꼬리 모두 원래 분포와 같습니다.)$0$

따라서 (a)는 에 대해 대칭 이며 (b) 절대 값은 개의 독립적 인 랜덤 변수 의 곱의 배에서 배에 배 입니다0 2 × 10 = 20 U ( 0 , 1 $XY$$0$$2\times 10=20$$U(0,1)$

대수를 사용하여 제품을 단순화하는 경우가 많습니다. 실제로 변수 의 음수 로그에 지수 분포가 있다는 것은 잘 알려져 있습니다 (왜냐하면 임의의 지수 변이를 생성하는 가장 간단한 방법이기 때문입니다). 두 지수의 합의 분포. 지수는 분포입니다. 동일한 척도 모수를 가진 감마 분포는 쉽게 추가 할 수 있습니다. 모양 매개 변수 만 추가하면됩니다. 따라서 + 변형은 분포를 갖습니다 . 따라서Γ ( 1 , 1 ) Γ ( 1 , 1 ) Γ ( 1 , 1 ) Γ ( 2 , 1 $U(0,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(2,1)$

랜덤 변수 는 변수 의 음의 지수의 배 의 대칭 버전입니다 .20 Γ ( 2 , 1 $XY$$20$$\Gamma(2,1)$

분포 에서 의 PDF 구성은 왼쪽에서 오른쪽으로, 유니폼부터 지수, , 음의 지수로 진행됩니다. , 같은 것을 조정 하고 마지막으로 대칭 버전. PDF는 에서 무한 하므로 불연속을 확인합니다.U ( 0 , 1 ) Γ ( 2 , 1 ) 20 $XY$$U(0,1)$$\Gamma(2,1)$$20$$0$

우리는 여기서 멈춰 만족할 것입니다. 예를 들어,이 특성화는 다음과 같이 직접 수 있는 방법을 제공 합니다.$XY$R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

Thsis 분석은 또한 pdf가 에서 폭발하는 이유를 보여줍니다 . $0$ 이 특이점은 우리가 분포 의 지수 (음수)를 고려할 때 하나의 변수에 다른 하나의 곱을 곱한 것에 해당합니다 . 내 값 (예를 들어) 의 요인의 (a)는 하나보다 작은 경우를 포함하여 (이에 국한되지 않음) 여러 가지 방법으로 발생하는 두 요인보다 작은 또는 (b) . 이 가까울 때 그 제곱근은 자체 보다 엄청나게 큽니다.U ( 0 , 1 ) ε 0 ε $\Gamma(2,1)$$U(0,1)$$\varepsilon$$0$$\varepsilon$ εε0$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$\varepsilon$$0$. 이것은 보다 많은 양 의 길이가 길이의 간격으로 압착 될 수 있도록합니다 . 이를 가능하게하기 위해, 제품의 밀도는 에서 임의로 커야한다 . 후속 조작 ( 배로 크기 조정 및 대칭)은 분명히 그 특이성을 제거하지 않을 것입니다. ε0$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$0$$20$

이 해답의 서술 적 특성은 또한 최소한의 소란이있는 공식으로 직접 연결되어 완벽하고 엄격함을 보여줍니다 . 예를 들어 의 pdf를 구하려면 분포 의 확률 요소로 시작하십시오 .Γ ( 2 , 1 $XY$$\Gamma(2,1)$

$$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$$

시키는 의미 및 . 이 변환은 순서를 반대로합니다. 값이 클수록 값이 작아집니다 . 이러한 이유로 우리는 대체 후 결과를 부정하고d t = − d ( log ( z ) ) = − d z / z 0 < z < 1 t $t=-\log(z)$$dt = -d(\log(z)) = -dz/z$$0 \lt z \lt 1$$t$$z$

$$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$$

스케일 팩터 이것을$20$

$$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$$

마지막으로 대칭은 를 대체합니다. , 값의 범위는 이제 ~ 이고 pdf를 로 나누어 총 확률을 구간 및 동일하게 분산시킵니다 .| z | − 20 20 2 ( − 20 , 0 ) ( 0 , 20 $z$$|z|$$-20$$20$$2$$(-20,0)$$(0,20)$

$$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$$

파생에서는 의 밀도를 사용하지 않습니다 . 이후 , 있으므로 컨벌루션 화학식에서 (절대 값을 추가하여 Jacobian도 수정했습니다). 그 후, X ∼ U ( 0 , 2 ) f X ( x ) = $X$$X\sim\mathcal{U}(0,2)$h(v)=

$$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$$ h ( v $$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$$ $$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$$ 여기서 결과를 시뮬레이션하여 확인한 것입니다.

로 얻은

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)