연속 변수의 조건부 확률

랜덤 변수 가 모수 0과 10 (예 : ) 으로 균일 한 균일 분포를 따른 다고 가정합니다. $U$ $U \sim \rm{U}(0,10)$

이제 A가 = 5 인 사건을 , B가 가 또는 6 인 사건을 나타내 겠습니다. 내 이해에 따르면, 두 사건 모두 발생할 확률이 0입니다. $U$ $U$ $5$

이제 를 계산하는 것을 고려 하면 조건부 법칙 사용할 수 없습니다 $P(A|B)$ 는 0과 같기때문에. 것을하지만, 내 직감은 나에게 말한다. $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ $P(B)$ $P(A|B) = 1/2$

conditional-probability continuous-data uniform

— 멍청한 놈
소스

경우 어떻게 당신의 직관은 당신을 말할 것이다

있었다 비 균일 한 밀도

U

$U$

0.02 u, u \in (0, 10)

$0.02u, u \in (0,10)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate 내 직감은 대답이 0.5보다 약간 낮은 숫자라고 말해 줄 것입니다.

— Noob

답변:

"확률이 0 인 분리 된 가설에 대한 조건부 확률의 개념은 용납 될 수 없습니다." 콜 모고 로프

연속 랜덤 변수 와 따르면 조건부 분포는 원래 확률 측정 값을 복구하는 속성, 즉 모든 측정 가능한 집합 , , $X$ $Y$ $A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$ $B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$ 이는 조건부 밀도가 측정 값 세트 0에서 임의로 정의되거나, 즉 조건부 밀도 는거의 모든 곳에서정의됩니다. 세트 은 Lebesgue 측정 값에 대해 측정 값이 0이므로 및 을 완전히 임의의 방식으로정의 할 수있으므로 확률

P (X \in A, Y \in B) = \int_{B} d P_{Y} (y) \int_{B} d P_{X | Y} (x | y)

$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$

p_{X | Y} (x | y)

$p_{X|Y}(x|y)$

{5, 6}

$\{5,6\}$

p (5)

$p(5)$

p (6)

$p(6)$

은 모든 값을 가질 수 있습니다.

P (U = 5 | U \in {5, 6})

$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$

이것은 이변 량 일반 사례에서와 같이 비율 공식 로 조건부 밀도를 정의 할 수 없다는 것이 아니라 밀도가 거의 모든 곳에서 정의되는 것입니다 및 .

f (y | x) = f (x, y) / f (x)

$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$

x

$x$

y

$y$

"많은 유력한 논란이있다 – 그렇지 않으면 유능한 영아들 사이에서이 결과들 중 어느 것이 '올바른가?' 동부 제인

$\epsilon$

X, Y \overset{i.i.d.}{\sim} N (0, 1)

$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$ $X$ $X=Y$

$\varphi(x)\varphi(y)$ $\varphi(x)^2$

(x, t) = (x, y - x) \sim φ (x) φ (t + x)

$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$

T = Y - X

$T=Y-X$

φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}

$\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$

f (x | t) = \frac{φ (x) φ (t + x)}{φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}}

$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$

f (x | t = 0) = \frac{φ (x) φ (x)}{φ (0 / \sqrt{2}) / \sqrt{2}} = φ (x)^{2} \sqrt{2}

$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$

(x, r) = (x, y / x) \sim φ (x) φ (r x) | x |

$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$

R = Y / X

$R=Y/X$

ψ (r) = 1 / π {1 + r^{2}}

$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$

X

$X$

R

$R$

f (x | r) = φ (x) φ (r x) | x | \times π {1 + r^{2}}

$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$

f (x | r = 1) = π φ (x)^{2} | x | / 2 .

$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$

R = 1

$R=1$

T = 0

$T=0$

X = Y

$X=Y$

X

$X$

— 시안
소스

이것은 명백한 잘못입니다. 확률 이론에서 엄격한 과정을 밟으면 측정 값 0의 이벤트에 대한 컨디셔닝 이 가능하고 실용적 임을 알 수 있습니다. 이변 량 가우스를 고려하십시오. 이 이벤트의 확률은 0이지만 첫 번째 변수를 0으로 설정하여 조건을 지정할 수 있다는 것은 누구나 알고 있습니다. Wikipedia를 참조하십시오. en.wikipedia.org/wiki/…

— Yair Daon

논란의 여지가있는 답변은 다음과 같습니다.

Xi'an은 확률이 0 인 이벤트에 대해서는 조건을 지정할 수 없습니다. 그러나 Yair는 제한 프로세스 를 결정 하고 나면 확률을 평가할 수 있습니다. 문제는 원하는 조건에 도달하는 많은 제한 프로세스가 있다는 것입니다.

$(1, 11)$ $p$ $1-p$

많은 통계 학자들은 무관심의 원칙을 받아들이지 않습니다. 내 직감을 반영하기 때문에 좋아합니다. 어떻게 적용해야할지 잘 모르겠지만 50 년 후에는 더 주류가 될까요?

— 닐 G
소스

[0, 10]

$[0,10]$

5

$5$

0

$0$

6

$6$

\sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}

$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$

@ whuber : 뒤집기 인수는 모드를 뒤집지 않으면 Cauchy 분포에서 작동하지 않습니다.

— Neil G

물론 하나의 연속 분포를 다른 값으로 바꾸는 다른 분포로 변환하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 실제로, "플 래핑"은 원래 배포판을 보존하지도 않았습니다. (지원이 완전히 바뀌 었습니다.) 따라서 한 배포판을 다른 배포본으로 바꾸는 것만 같습니다. 여기서 작동하는 원리는 전혀없는 것 같습니다.

— whuber

@whuber :이 이에 또 다른 하나 개의 분포를 교체 5, 6 주위에 균일 한 영역이 변화가 없었다 - 나는 시도를 축소하는 것은 떠날 생각 같은 방법으로 원래의 서클 변경 밀도를 에서 버트 랜드의 역설 .

— Neil G

@ whuber : 당신이 맞아요. 나는 내 질문 중 하나에 대한 Potato의 답변 을 정말로 좋아했습니다 . 개인적으로 이론과 직관 사이에 불일치가있을 경우 새롭고 완전한 이론을 찾아야한다고 생각합니다. 어쩌면 "무관심의 원칙"이 옳지 않거나 일반적으로 실행 가능하지는 않지만, 우리가 직관적 이해를 갖는 질문에 대답 할 확률 이론에 대한 자연스러운 소망이 있습니다. Lebesgue가 Riemann 통합에 대해 같은 종류의 불안감을 가지고 있었을까요?

— Neil G

$A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$ $\epsilon \to 0$

$(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $X_1$ $X_2 = 0$ $P(\xi = a) = 0$

따라서 측정 값이 0 인 이벤트를 조절하는 데 의미를 부여 할 수 있습니다.

— Yair Daon
소스

U \sim U [0, 10]

$U\sim \text{U}[0,10]$

0

$0$

10

$10$

A = {0}

$A=\{0\}$

B = {0, 6}

$B=\{0,6\}$

P (A | B) = 1 / 2

$P(A|B)=1/2$

[0, 10]

$[0,10]$

1 / 3

$1/3$

5

$5$

0

$0$

0

$0$

ε

$\varepsilon$

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u}{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u + \int_{6 - \frac{ε}{4}}^{6 + \frac{ε}{4}} f (u) d u} = \frac{\frac{ε}{2}}{\frac{ε}{2} + \frac{ε}{2}} = 0.5

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }}{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} + \int\limits_{6 - \frac{\varepsilon }{4}}^{6 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }} = \frac{{\frac{\varepsilon }{2}}}{{\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}}} = 0.5$

@YairDaon 그러나 원래 A를 로 정의한 경우 결과가 변하지 않는다고 생각합니다.

[5 - \frac{ε}{8}, 5 + \frac{ε}{8}]

$\left[ {5 - \frac{\varepsilon }{8},5 + \frac{\varepsilon }{8}} \right]$

\frac{1}{8}

${\frac{1}{8}}$

@ Xi'an이 인용 한 Kolmogorov의 진술에 대한 고유 한 답변이 없음을 보여줌으로써 직관에 탁월합니다. 그들이 당신에게이 접근법의 문제점에 대해 경고해야한다고 생각 했을 때 당신의 일이 나오도록 절차를 바꿔야한다는 사실 .

— whuber

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} = 0

$X_1=0$