첫 머리가 나올 때까지 예상 된 던지기 횟수

18

처음으로 머리를 얻을 때까지 공정한 동전이 반복적으로 던져 졌다고 가정하십시오.

예상되는 토스 수는 얼마입니까?
첫 번째 머리를 얻기 전에 얻을 수있는 예상 꼬리 수는 얼마입니까?

— 니콜 900
소스

2

이 링크에는 두 가지 질문에 대한 답변이 있습니다. en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution

— swmo

2

자체 학습 질문 인 경우 태그를 추가하십시오.

— Xi'an

17

이것은 다음과 같은 기하학적 분포를 사용하여 대답 할 수 있습니다 .

성공 확률 p ( "heads") 를 갖는 첫 번째 성공 (헤드) 이전 의 실패 횟수 k-1 은 다음과 같이 제공됩니다.

p (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p

$p(X=k)=(1−p)^{k−1}p$

와 k는 실험 종료 제의 머리 '포함 토스의 총수 인.

$1/p=2$

기대 값의 도출은 여기 에서 찾을 수 있습니다 . 내재 된 마지막 단계는 다음과 같아야합니다.

$\frac{d}{dr} \frac{1}{1-r} = \frac{1}{(1-r)^2}$

$E(X) = \frac{p}{1-p} \sum\limits_{x = 1}^{\infty}x\ r^x = \frac{p}{1-p}\ r\ (\frac{d}{dr} \frac{1}{1-r})= \frac{p}{1-p}\ r\ \frac{1}{(1-r)^2}$ $r = 1 - p$

$E(X) = \frac{1}{p}$

또는 첫 번째 성공 전의 실패 횟수로 해석 된 음의 이항 분포를 사용할 수 있습니다 . 확률 질량 함수는 p ( 각 Bernoulli 시행에서 특정 확률 p가 주어진 경우 r 성공을 달성하기 전에 실패 횟수 n )으로 제공됩니다.

p (n; r, p) = (\binom{n + r - 1}{r - 1}) p^{r} (1 - p)^{n}

$p(n;r,p) ={n+r-1\choose r-1} p^r (1-p)^n$

시행 횟수 n + r에 대한 기대 값은 다음 일반 공식으로 제공됩니다.

\frac{r}{(1 - p)}

$\frac{r}{(1-p)}$

을 감안할 때 우리의 알려진 매개 변수 : R = 1 및 P = 0.5 ,

E (n + r; 1, 0.5) = \frac{r}{1 - p} = \frac{1}{1 - 0.5} = 2

$E(n + r; 1,0.5) =\frac{r}{1-p} = \frac{1}{1-0.5} = 2$

$E(n+r) - r = 1$

이를 증명하기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 실행할 수 있습니다.

   set.seed(1)

p <- 1/2

reps <- 10000                         # Total number of simulations.

tosses_to_HEAD <- 0                   # Setting up an empty vector to add output to.

for (i in 1:reps) {
  head <- 0                           # Set the variable 'head' to 0 with every loop.
  counter <- 0                        # Same forlocal variable 'counter'.
  while (head == 0) {
    head <- head + rbinom(1, 1, p)    # Toss a coin and add to 'head'
    counter <- counter + 1            # Add 1 to 'counter'
  }
  tosses_to_HEAD[i] <- counter        # Append number in counter after getting heads.
}

mean(tosses_to_HEAD)
[1] 2.0097

— 안토니 파렐 라다
소스

1

G (p)

$\mathcal{G}(p)$

And the expected value of

X

$X$ for a given

p

$p$ is

1 / p

$1/p$

math.stackexchange.com/questions/235927/ 에 대한 좋은 유도가 있습니다. 그러나 그 응답의 끝을 내 응답에 포함시킬 수 있습니다.

— Antoni Parellada

4

$0$ $x$

각각의 티켓에 이러한 기대치를 적으십시오 . 이는 티켓 의 가치 입니다.

우리가 아는 세 가지는 :

$0$ $p$
$x$ $1-p$
이 단일 추첨에 대한 기대는 정의에 따라 모든 종류의 티켓에 대한 확률 가중치 값의 합입니다.

$p \times 0 + (1 - p) \times x = (1 - p) x .$ $p\times 0 + (1-p)\times x = (1-p)x.$

$x$

x = 1 + (1 - p) x .

$x = 1 + (1-p)x.$

$x$ $x-1$

$n$ $pn$ $h$ $pn$ $n$ $x$ $n/h$ $n/(h+1)$ $n/(pn)$ $x$

이것은 게임 길이 분포를 시뮬레이션하는 매우 효율적인 방법으로 이어집니다 . R코드 는 다음과 같습니다 . 부울 배열에 "heads"를 true 값으로 기록하고 연속적인 true 값 사이의 토스를 계산합니다.

p <- 1/3                                           # Set the chance of heads
tosses <- runif(1e6) < p                           # Make a million tosses
sim <- diff(c(TRUE, which(tosses)))                # Compute game lengths
hist(sim, xlab="Game length", main="Distribution") # Graph their distribution
mean(sim)                                          # Report the average length

$17$ set.seed(17) $x$

— 우버
소스

그림 게임의 "x"와 두 번째 방정식의 "x"가 같은 이유를 이해하는 데 도움이 될 수 있습니까? 두 번째 방정식을 어떻게 구할 수 있을지 모르겠습니다. 대단히 감사합니다.

— 라이트

@Light 두 번째 방정식은 이전 단락에서 설명합니다.

— whuber

♦ 답장을 보내 주셔서 감사합니다. 나는 x의 정의와 당신이 반복해서 말한 단락을 읽었지만 여전히 이해하지 못합니다. 내 이해와 pls는 내가 sth를 오해하는지 알도록 도와줍니다. 내 이해에 따르면, x는 원래 게임과 다른 게임 인 그림 티켓 게임의 "추가"예상 수치입니다. 코인 게임의 기대 ( "E"라고 함)는 첫 번째 던지기를 포함하기 때문입니다. 제 생각에는 E는 "x + 1"이어야하지만 같은 것은 아닙니다. 방정식에서, 당신은 x와 E를 혼란스럽게 만드는 것과 동일하게 만들었습니다. 고마워.

— 빛

2

X가 머리를 얻을 때까지 필요한 동전 뒤집기의 수라고하자. 따라서 E (X)를 계산해야합니다 (예 : X의 예상 값).

첫 플립이 무엇이든 E (X)를 조정할 수 있습니다. E (X | H)가 첫 번째 플립에서 머리를 가졌을 때 남은 코인 플립 수를 나타냅니다. 마찬가지로, E (X | T)는 첫 번째 플립에서 꼬리를 얻었을 때 남은 코인 플립 수를 나타냅니다.

첫 단계 컨디셔닝으로

$E(X) = \frac{1}{2} * (1 + E(X|H)) + \frac{1}{2} * (1 + E(X|T))$

$E(X|H)$

$E(X|T) = E(X)$

$E(X) = \frac{1}{2} * (1 + 0) + \frac{1}{2} * (1 + E(X))$

$E(X) = 2$

— 그리 예시 아그라 왈
소스