카이-제곱 변이의 무한 수집에 대한 주문 통계 (예 : 최소)?

이번이 처음이므로 형식, 태그 등 어떤 식 으로든 내 질문을 명확하게 설명 할 수 있는지 알려주십시오. (그리고 나중에 편집 할 수 있기를 바랍니다!) 참조를 찾으려고 유도를 사용하여 자신을 해결하려고했지만 둘 다 실패했습니다.

자유도가 다른 독립 변수 임의의 변수 의 순서 통계로 축소하는 분포를 단순화하려고합니다 . 구체적으로, 독립 중 번째로 작은 값 의 분포는 무엇 입니까? $\chi^2$ $m$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\chi^2_8,\ldots$

나는 특별한 경우에 관심이있을 것입니다 : (독립적 인) 의 최소 분포는 무엇 입니까? $m=1$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

최소의 경우 누적 분포 함수 (CDF)를 무한한 제품으로 작성할 수 있었지만 더 단순화 할 수는 없었습니다. 의 CDF 가 ( 이면 2의 지수 분포와 동등성에 대한 아래의 두 번째 주석을 확인합니다.) 그런 다음 최소값의 CDF는 제품의 첫 번째 용어는 이고 "last"용어는 $\chi^2_{2m}$

F_{2 m} (x) = γ (m, x / 2) / Γ (m) = γ (m, x / 2) / (m - 1)! = 1 - e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} x^{k} / (2^{k} k!) .

$F_{2m}(x)=\gamma(m,x/2)/\Gamma(m)=\gamma(m,x/2)/(m-1)!=1-e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}x^k/(2^k k!).$

m = 1

$m=1$

F_{m i n} (x) = 1 - (1 - F_{2} (x)) (1 - F_{4} (x)) \dots = 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (1 - F_{2 m} (x))

$F_{min}(x) = 1-(1-F_2(x))(1-F_4(x))\ldots = 1-\prod_{m=1}^\infty (1-F_{2m}(x))$

= 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{x^{k}}{2^{k} k!}) .

$= 1- \prod_{m=1}^\infty \left(e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{x^k}{2^k k!}\right).$

e^{- x / 2}

$e^{-x/2}$

e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / (2^{k} k!) = 1

$e^{-x/2}\sum_{k=0}^\infty x^k/(2^k k!)=1$ . 그러나 나는 가능하다면 그것을 단순화하는 방법을 모른다. 아니면 완전히 다른 접근법이 더 낫습니다.

또 다른 잠재적으로 유용한 알림 : 는 기대 2가있는 지수 분포와 동일하며 는 두 가지 지수의 합 등입니다. $\chi^2_2$ $\chi^2_4$

누군가 궁금한 점이 있다면 이 논문 에서 상수 1에서 회귀가 발생하는 경우 정리 1을 단순화하려고합니다 ( 모든 의 경우 ). ( 곱한 이후 분포 대신 가 있습니다 .) $x_i=1$ $i$ $\chi^2$ $\Gamma$ $2\kappa$

— 데이비드 엠 카플란
소스

이것이 귀하의 질문에 대답 합니까 ?

— mpiktas

@ mpiktas : 제안 주셔서 감사합니다. 속도 매개 변수가 다른 지수 대신에 자유도가 다른 카이 제곱 (무한 수가 아닌 무한 수)이 있습니다. 는 지수 인 반면 , 은 는 아닙니다. 그것들은 지수의 합이지만, 지수의 합은 지수 자체가 아닙니다. (그리고 이상적으로 나는 분 좋은 시작이 될 것입니다하지만, 일반적인 순서 통계에 대한 희망하고있다.)

χ_{2}^{2}

$\chi^2_2$

χ_{4}^{2}, χ_{6}^{2}, \dots

$\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

— 데이비드 M 카플란

X_{k}

$X_k$

λ / 2

$\lambda/2$

k = 1, 2, \dots

$k=1,2,\ldots$

1 - F_{m i n} (λ)

$1-F_{min}(\lambda)$

X_{k} \leq k

$X_k \le k$

T_{1}, T_{2}, \dots

$T_1, T_2, \ldots$

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$

N (t) := sup {n : \sum_{i = 1}^{n} T_{i} \leq t}

$N(t) := \sup\{n: \sum_{i=1}^n T_i \leq t\}$

1 / 2

$1/2$

U_{1} = T_{1}

$U_1 = T_1$

U_{2} = T_{2} + T_{3}

$U_2 = T_2 + T_3$

U_{3} = T_{4} + T_{5} + T_{6}

$U_3 = T_4 + T_5 + T_6$

U_{i} \sim χ_{2 i}^{2}

$U_i\sim\chi_{2i}^2$ 독립적이며 Poisson 프로세스의 고정 독립 증분 속성에 의해 입니다.

P (U_{i} \geq t) = P (N (t) \leq i)

$\mathbb{P}(U_i \geq t) = \mathbb{P}( N(t) \leq i)$

— 추기경

@Cardinal 물론 : 그것은 그것을 보는 좋은 방법입니다. 호기심은 포아송과 감마의 관계에 있지 않습니다. 그것은 사건 자체의 설명에있다!

— whuber

답변:

무한 곱의 0은 항의 0의 합집합입니다. 20 번째 항으로 계산하면 일반적인 패턴이 나타납니다.

복소수 0의 플롯

복잡한 평면에서이 0의 플롯은 다른 기호를 사용하여 곱에서 개별 항의 기여를 구별합니다. 각 단계에서 겉보기 곡선이 더 확장되고 새 곡선이 더 왼쪽에서 시작됩니다.

이 그림의 복잡도는 Whittaker 와 같은 고전적인 텍스트에서 조사 된 것과 같이 고급 분석의 잘 알려진 기능 (예 : 감마, 세타, 초 지오메트리 기능 등)과 기본 기능 측면에서 폐쇄 형 솔루션이 없음을 보여줍니다. & Watson ).

따라서 문제가 조금 더 다르게 나타날 수 있습니다 . 주문 통계 분포에 대해 무엇을 알아야합니까? 그들의 특징적인 기능의 추정치는? 낮은 주문 순간? Quantile에 대한 근사치? 다른 것?

— 우버
소스

왜 제품의 제로가 중요한가? 나는 사소한 것이 빠져 있다고 느낍니다.

— mpiktas

@mp 0과 극은 함수의 복잡성에 대한 무언가를 보여줍니다. 합리적 함수에는 유한 한 수가 있습니다. 기본 함수는 일반적으로 대해 , 정수 와 같이 0의 라인을 갖습니다 . 전형적인 "초월"함수는 모든 양의 정수 (감마 함수의 역수) 또는 점 격자 (세타 함수 및 타원 함수)와 같이 약간 더 복잡한 0의 패턴을가집니다. 여기에 나타난 복잡한 패턴은 이러한 친숙한 기능의 관점에서 CDF를 표현하는 것이 어렵거나 불가능하다는 것을 암시합니다.

2 i π n

$2i\pi n$

n

$n$

\exp ()

$\exp()$

— whuber

@ whuber (1/2), 감사합니다! 복잡한 평면에서 서로 다른 패턴의 0을 갖는 함수의 다른 클래스에 대해서는 몰랐습니다. 그것은 매우 유용하게 들리며, 그래프는 내 질문에 답한 것처럼 보입니다.

— David M Kaplan

@ whuber (2/2), 이것은 다른 논문에 주어진 추정기의 (복잡한) 분포의 특별한 경우를 확인하고있었습니다. 그들은 부트 스트랩 사용을 정당화하기 위해 배포의 존재를 사용했습니다. 내 조언자는 분포를 근사하도록 제안했습니다. 이 특별한 경우에 대한 배포가 중단 된 것 같습니다 (필요한 부분을 알고있는 곳). 그의 보조금 마감 기한이 지나면 고문과 함께 확인할 것입니다. 하지만 잠재적으로, 나는 높은 순서 확장 받으려고 할 것 (로 나눈 주문 합계 번째 )을 , 더 복잡한 설정한다. 그렇다면 다시 게시합니다. 다시 감사합니다!

m

$m$

m

$m$

m \to \infty

$m\to\infty$

— David M Kaplan

최소 (독립) 의 분포는 무엇 입니까? $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

약 6 년 늦게 도착한 것에 대해 사과드립니다. OP가 이제 다른 문제로 넘어 갔을지라도 질문은 여전히 신선하며 다른 접근법을 제안 할 수 있다고 생각했습니다.

우리는 주어진 어디 여기서 PDF의와 : $(X_1, X_2, X_3, \dots)$ $X_i \sim \text{Chisquared}(v_i)$ $v_i= 2i$ $f_i(x_i)$

다음은 샘플 크기가 증가함에 따라 해당 pdf의 플롯입니다 . $f_i(x_i)$ $i = 1 \text{ to } 8$

우리는 분포에 관심이 있습니다. $\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$

추가 용어를 추가 할 때마다 추가 된 한계 마지막 용어의 pdf가 오른쪽으로 점점 더 이동하므로 점점 더 많은 용어를 추가 할 경우 관련성이 적을뿐 아니라 몇 개의 용어 만 샘플 최소값에서 거의 무시할 수있게됩니다. 이는 사실상 매우 적은 수의 항만 실제로 중요 할 수 있음을 의미하며, 추가 항 (또는 무한한 수의 항의 존재)을 추가하는 것은 표본 최소 문제와 관련이 없습니다.

테스트

이를 테스트하기 위해 의 pdf 를 1 학기, 2 학기, 3 학기, 4 학기, 5 학기, 6 학기, 7 학기, 8 학기, 9 항, 10 항 이를 위해 mathStatica 의 함수를 사용하여 크기 의 샘플에서 샘플 최소값 ( 순서 통계) 의 pdf를 계산하고 여기 에서 매개 변수 (대신 )를 사용하도록 지시 했습니다. 수정 중)은 . $\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$ OrderStatNonIdentical $1^{\text{st}}$ $j$ $i$ $v_i$