가 연속 변수 인 경우

연속 변수 것을 알고 있습니다. $P[X=x]=0$

그러나 이면 가능한 수의 가 무한 하다는 것을 시각화 할 수 없습니다 . 또한 왜 그들의 확률이 무한히 작아 지는가? $P[X=x]=0$ $x$

— 시각
소스

연속 변수

— Xi'an

이 질문을 중복으로 종결하기 위해 이미 두 개의 투표가 있습니다. 동의하지 않습니다. 이 주제는 미래에 다시 나타날 주제 중 하나 인 매우 기본적인 주제이므로 직접적이고 고품질의 답변이 있으면 좋을 것이므로 나중에 참조 할 수 있습니다. @ Xi'an이 제공하는 링크는 중복으로 위협받을 수 있지만 검색을 통해 찾기가 매우 어렵습니다. 이 링크는 철저한 답변을 제공하지 않지만이 위협은 그러한 위협에 수렴하는 것으로 보입니다. 나는 그것이 미래의 참조로 열려 있어야한다고 생각합니다.

— Tim

이 상황의 반대를 고려하는 것이 도움이 될 수 있습니다. 하자 BE 어떤 확률 변수 및하자 양의 실수합니다. 의 유한 수있을 수 있습니다 있는 분리 된 이벤트를 통해이 모든 확률을 추가하여 - -, 그렇지 않으면 당신은 전체 확률이 적어도이라고 결론을 내릴 것

는 결국

초과 합니다. (이것은 실수 의 아르키메데스 속성 입니다.)이 추론은 세 가지 공리 만 사용합니다 . 즉, 분리 된 사건의 확률이 더하고 총 확률은

이고 아르키메데스의 공리입니다.

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

— whuber

@Tim 감사합니다. 그러나이 생각은 불완전하기 때문에 답이 아닌 주석으로 게시했습니다 . 으로 한계에서 발생하는 일을 설명하는 기본적인 방법을 찾지 못했습니다 . 무한 세트의 카디널리티에 대한 지식이 필요한 것 같습니다.

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$

— whuber

@ Xi'an 동의하지만 제안한 스레드가 충분히 근접하지는 않습니다. 이것은 찾기 어려운 것입니다. 이 질문을 복제하는 다른 스레드에 대해 알고 있습니까?

— whuber

답변:

확률은 관측 의 상대 빈도 에 대한 모델입니다 . 사건 가 번의 시행에서 번 발생한 것으로 관찰되면 , 상대 빈도는 이며 일반적으로 위의 비율은 이 "대형" 일 때 가까운 근사치입니다. 여기서 "대형" 이란 의미는 독자의 상상력 (및 굴곡성)에 가장 적합합니다. $A$ $N_A$ $N$

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

이제 모델이 연속 랜덤 변수 모델 인 경우 의 샘플 은 개의 고유 한 숫자입니다. 따라서 특정 숫자 의 상대 빈도 (또는보다 일반적으로 이벤트 )는 중 하나에 값이 인 경우 이거나 모든 가 다른 경우 에서 . 더 회의적인 독자가 추가 샘플을 수집하는 경우 , 이벤트 의 상대 빈도 는 다음 중 하나입니다. $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ 또는 값을 계속 즐기십시오 . 따라서 에 값 할당해야한다고 추측 할 수 있습니다 . 이는 관측 된 상대 주파수에 대한 근사치이기 때문입니다. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

참고 : 위의 설명은 확률 및 통계 적용에 관심이있는 엔지니어 및 다른 사람들 (일반적으로 이론 을 실제 모델 로 만들기 위해 확률의 공리가 선택 되었다고 믿는 사람들)에게는 만족 스럽지만 완전히 불만족합니다. 많은 사람들에게. 순수한 수학적 또는 통계적 관점에서 문제에 접근하고 또한 가능하다 증명 그 해야 값이 될 때마다 확률의 공리로부터 논리 공제 통해 연속 확률 변수이고, 임의의 참조없이 상대 주파수 또는 물리적 관찰 등 $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— 디립 사르 베이트
소스

+1 "참고 : 위의 설명은 ... 만족할 만하다 ... 확률의 공리가 이론을 현실의 좋은 모델로 만들기 위해 선택되었다고 믿는 사람들에게), 그러나 완전히 불만족 스럽다 ..." 인터넷에서 선호하는 문구, lol.

— gung-복원 Monica Monica

나는에 의해 당신이 뜻을 이해하지 않는 것이 관찰되었다 그 경우 연속, 다음은 ... $X$ . 우리는 어떻게 그것을 관찰 할 수 있습니까?

— Stéphane Laurent

@ StéphaneLaurent이 문장은 조금 복잡해서 다시 읽을 수 있습니다. 일부 괄호로 말하면 "샘플은 ...

개의 고유 한 숫자 "라는 것이 밝혀졌다 . 다시 말해서, 가 연속 분포를 가지고 있다고 가정 할 때 , (거의 확실하게)

유한 iid 샘플에는 중복이 없습니다 . 수학적으로 증명할 수 있습니다. 단순한 관찰이 아닙니다.

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent 저는 Dilip의 발언이 그와 다른 정신으로 만들어지고 있다고 생각합니다. 이 답변은 수학적으로 엄격한 데모를 제공하려는 것이 아니라 OP를 당황시키는 사실에 대한 직관과 동기 부여를 제공하려는 노력입니다. 이 방법은 초보자에게 전통적으로 배운 이산 확률 이론과 측정 이론을 기반으로 한 더 일반적인 확률 이론 사이의 격차를 메울 가능성이 있기 때문에이 접근법에 흥미가 있습니다.

— whuber

@ whuber 나는 정신을 이해하지만 언뜻보기에는 no-ties 속성이 zero-probability 속성보다 직관적이라는 것을 확신하지 못했습니다. 를 들어

":이 정말 같은 일

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Stéphane Laurent

하자 기본 확률 공간합니다. 우리는 측정 함수라고 절대적 연속 확률 변수 인 경우, 확률 계수 통해 에 의해 정의 의 분포라고도 , 모든 Borel 세트 대해 Lebesgue 측정 값 의해 지배됩니다. $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ IF, , 다음 . 이 경우 라돈-니코 딤 정리는 측정 가능한 이 거의 모든 등가까지 정의되어 라고 알려줍니다 $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . 하자 의 부분 집합 가산 . 이후 , countably 첨가제 . 그러나 $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$ 마다 . 인해 이후 실수의 아르키메데스 성질에 , 부등식 마다에 대해 보유 경우에만, , 그 수반 . (가)의 절대 연속성 가정에서 그것이 그 다음

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

입니다.

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— 선
소스

연속 랜덤 변수는 절대적으로 연속적 일 필요는 없습니다 (밀도가 없을 수 있습니다)

— Zhanxiong

실없는 소리. "연속 랜덤 변수"는 "레베 그 측정과 관련하여 절대적으로 연속적인 랜덤 변수"의 비공식 이름입니다. 따라서 Radon-Nikodym은 밀도가 존재 함을 보장합니다. 단일 분포 (예 : Cantor)를 갖는 랜덤 변수는 다릅니다. 당신은 가짜 의견을 가진 잠재적 인 학생들을 오도하고 있습니다.

— Zen

누군가를 비난 할 때 언급 한 인용을 보여주십시오. 어느 연속 교과서에서 "연속 랜덤 변수"는 "레 베스 법안과 관련하여 절대적으로 연속적인 랜덤 변수"의 비공식적 인 이름 입니까? 또한이 문제는

에 밀도가 없어도 해결할 수 있습니다 . 아래 내 증거를 참조하십시오.

X

$X$

— 잔 시옹

Wikipedia는 여러분에게 동의하지 않습니다. @Solitary : " 연속 확률 분포 는 확률 밀도 함수를 갖는 확률 분포입니다. 수학자들은 그러한 분포를 절대적으로 연속적인 [...]이라고 부릅니다."

— amoeba

는 연속 랜덤 변수 이므로 분포 함수 가 연속적 입니다. 이것이 우리가 가진 유일한 조건이지만 이라는 것을 얻을 수 있습니다. $X$ $F$ $P(X = x) = 0$

사실, 연속성으로 , 우리가 마다 , 그러므로 : $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— 잔 시옹
소스

의 분포 가 Cantor 인 경우 분포 함수는 연속적이지만

는 단일 랜덤 변수입니다. 연속 랜덤 변수가 아닙니다.

X

$X$

X

$X$

— Zen

내 친구, 이것은 실제로 내 것이 아니라 자신의 대답에 대한 반례가 될 수 있습니다. 이러한 단일 연속 rv 가 존재하기 때문에, 분포 함수가 모두 연속적이지만, 절대 연속 rv와 단일 연속 rv 를 구별 할 필요가있다 . 균일하게하기 위해 연속 RV 및 절대 연속 RV은 모호합니다.

— 잔 시옹

그렇지는 않지만 내 친구는 듣지 못할 것입니다.

— Zen

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$