양의 결정 요인을 균일하게 임의의 직교 행렬을 생성하는 방법은 무엇입니까?

고백해야한다고 어리석은 질문이있을 것입니다. 일정한 크기 의 균일하게 분포 된 랜덤 직교 (직교 정규) 행렬 의 반복 생성을 상상해보십시오.$p$. 때때로 생성 된 행렬에 결정자가 있습니다$1$ 때로는 결정적 요소가 있습니다 $-1$. (두 가지 가능한 값이 있습니다. 직교 회전 관점에서$\det=-1$ 회전 외에 하나의 추가 반사가 있음을 의미합니다.)

의 부호를 바꿀 수 있습니다$\det$ 마이너스 내지 플러스 임의의 기호 변화에 의해, 직교 행렬이 하나의 (또는보다 일반적으로, 임의의 홀수) 그 열.

내 질문은 : 우리가 그러한 무작위 행렬을 반복적으로 생성한다고 가정 할 때마다 특정 열의 부호를 되돌릴 때마다 (예 : 항상 첫 번째 또는 항상 마지막) 균일 무작위 특성에 약간의 편견 을 도입 합니까? 아니면해야 이 무작위로 균일하게 분포 모음을 나타내는 행렬을 유지하기 위해 무작위로 열을 선택하는?

열의 선택은 중요하지 않습니다. 특수 직교 행렬의 결과 분포, $SO(n)$여전히 균일합니다.

나는 그룹 요소의 균일 한 생성에 관한 많은 관련 질문으로 명백한 방식으로 확장되는 주장을 사용하여 이것을 설명 할 것이다. 이 인수의 각 단계는 사소한 것으로, 적절한 정의 나 간단한 계산 (예 :$\mathbb{I}_1$ 직교 및 자기 역).

논쟁은 익숙한 상황의 일반화입니다. 지정된 연속 분포에 따라 양의 실수 를 그리는 작업을 고려하십시오.$F$. 이것은 그림으로써 수행 할 수 있는 연속 분포에서 실수를$G$필요한 경우 양의 값을 보장하기 위해 결과를 부정합니다 (거의 확실합니다). 이 프로세스가 배포판을 갖기 위해서는$F$, $G$ 재산이 있어야합니다

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

이를 달성하는 가장 간단한 방법은 $G$ 대칭이다 $0$ 그래서 $G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$수반되는 $F(x) = 2G(x) - 1$: 모든 양의 확률 밀도는 단순히 두 배가되고 모든 음의 결과는 제거됩니다. 반 정규 분포 간의 친숙한 관계 ($F$) 및 정규 분포 ($G$)는 이런 종류입니다.

다음에서 그룹 $O(n)$0이 아닌 실수 ( 곱하기 그룹으로 간주 ) 및 하위 그룹 의 역할을합니다.$SO(n)$ 양의 실수의 역할을한다 $\mathbb{R}_{+}$. Haar 측정$dx/x$ 부정에 따라 변하지 않으므로 "접을 때" $\mathbb{R}-\{0\}$ 에 $\mathbb{R}_{+}$양수 값의 분포는 변경되지 않습니다. (안타깝게도이 측정 값은 확률 측정 값으로 정규화 할 수는 없지만 유추하는 유일한 방법입니다.)

직교 행렬의 특정 열을 부정하면 (결정자가 음수 일 때) 음의 실수를 부정하여 양의 부분 군으로 접는 것과 유사합니다. 더 일반적으로, 당신은 어떤 직교 행렬 을 미리 선택할 수 있습니다$\mathbb{J}$ 부정적 결정 요인으로 대신 사용하십시오. $\mathbb{I}_1$: 결과는 같습니다.

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질문은 랜덤 변수 생성이라는 용어로 표현되지만 실제로는 행렬 그룹의 확률 분포에 대해 묻습니다. $O(n, \mathbb{R}) = O(n)$ 과 $SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$. 이 그룹들 간의 연결은 직교 행렬의 관점에서 설명됩니다

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

직교 행렬의 첫 번째 열을 부정하기 때문에 $\mathbb X$ 곱셈을 의미 $\mathbb{X}$ 으로 $\mathbb{I}_1$. 그것을주의해라$SO(n)\subset O(n)$ 과 $O(n)$ 분리 된 연합이다

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

주어진 확률 공간 $(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$ 에 정의 $O(n)$질문에 설명 된 프로세스는지도를 정의합니다.

$$f:O(n)\to SO(n)$$

설정하여

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

언제 $\mathbb{X}\in SO(n)$ 과

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

...에 대한 $\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$.

질문은 무작위 요소 생성에 관한 것입니다. $SO(n)$ 임의의 요소를 획득함으로써 $\omega\in O(n)$: 즉, "앞으로 밀어서"을 통해 $f$ 생산하는 $f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$. 푸시 포워드는 확률 공간을 만듭니다.$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$ 와

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

과

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

모든 $E \subset \mathfrak{S}^\prime$.

에 의한 올바른 곱셈 가정 $\mathbb{I}_1$ 측정 보존이며 어떤 경우에도 $E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$, 그것은 바로 그것을 위해 따라갈 것입니다 $E\in\mathfrak{S}^\prime$,

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

특히 $\mathbb{P}$ 오른쪽 곱셈에서 변하지 않습니다. $O(n)$ (이것은 일반적으로 "균일 한"의미) $\mathbb{I}_1$ 그리고 그 역수는 $\mathbb{I}_1$ 그 자체)는 전술 한 바와 같은 직교 수단이며, $\mathbb{P}^\prime$균일합니다. 따라서 부정을 위해 임의의 열을 선택할 필요가 없습니다.