Borel-Cantelli Lemma와 관련된 질문

노트 :

Borel-Cantelli Lemma는 다음과 같이 말합니다.

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

그때,

만약

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

Borel-Cantelli Lemma를 사용하여

나는 그것을 보여주고 싶다

먼저

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ 이 존재합니다

둘째로

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

이 두 부분을 보여주십시오. 감사합니다.

— B11b
소스

아니요, Borel-Cantelli lemma는 적어도 추가 가정이없는 것은 아닙니다.

— 추기경

@ cardinal 잘,이 두 진술을 어떻게 보여줄 수 있습니까? 설명해 주시겠습니까? 나는 충분한 아이디어가 없다. 당신이 solutin 방법을 보여 주면 기뻐할 것입니다 :) 감사합니다

— B11b

"추가 가정"이 하나 추가되었습니다.

— Zen

마이너 참고 : 언급 한 바와 같이 여기 예를 들어, 우리는의 페어의 독립성에 의해 얻을 수 표제어의 두 번째 부분에서

A_{n}

$A_n$

— JLD

어떤 주장도 사실이 아닙니다.

하자 확률 동전 던지기의 헤드의 가능성 일 수 홀수 인 때 짝수이다. 그때: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

그러나 분명히 존재하지 않습니다. 가장 좋은 결론은 입니다. $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— 알렉스 알
소스