코헨의 통계량의 변화

Cohen의 는 효과의 크기를 측정하는 가장 일반적인 방법 중 하나입니다 ( Wikipedia 참조 ). 풀링 된 표준 편차로 두 평균 간의 거리 만 측정합니다. Cohen 의 분산 추정의 수학적 공식을 어떻게 도출 할 수 있습니까? $d$$d$

2015 년 12 월 편집 : 이 질문 과 관련하여 주위의 신뢰 구간 을 계산 하는 아이디어가 있습니다. 이 기사 는$d$

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

여기서 는 두 표본 크기의 합이고 는 두 표본 크기의 곱입니다. n $n_{+}$$n_{\times}$

이 공식은 어떻게 파생됩니까?

질문의 분산 표현은 근사치입니다. Hedges (1981) 는 일반적인 환경 (즉, 여러 실험 / 연구)에서 와 근사치 의 큰 표본 분산을 도출했으며 , 제 답변은 논문의 도출 과정을 거의 안내합니다.$d$

먼저 우리가 활용할 가정은 다음과 같습니다.

(치료)와 (대조군)의 두 가지 독립적 인 치료 그룹이 있다고 가정 해 봅시다 . 및 를 각각 그룹 주제 및 그룹 주제 에서 얻은 점수 / 응답 / 무엇 이라고 .C Y T i Y C j i T j $T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$$C$

우리는 반응이 정규 분포되고 치료와 통제 집단이 공통의 분산을 공유한다고 가정한다.

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

각 연구에서 추정하고자하는 효과 크기는 입니다. 사용할 효과 크기의 추정량은 여기서 는 그룹 의 편향되지 않은 샘플 분산입니다 . d= ˉ Y T− ˉ Y$\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$ S2k

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$$k$

의 큰 샘플 속성을 고려해 봅시다 . $d$

먼저 및 (내 표기법으로 느슨해 ) : 및

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

식 (1)과 (2)는 (다시 말해서, 내 표기법이 느슨하다) :

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

이제 영리한 대수학 : 여기서

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ $\theta \sim N(0,1)$, 및 입니다. 따라서 는 에 자유도 및 의 비 중심 모수를 갖는 비 중심 t- 분포를 변수의 .$V \sim \chi^2_{\nu}$$\nu = n_T+n_C-2$$d$$\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$$n_T + n_C - 2$$\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$

비 중심 분포$t$ 의 모멘트 특성을 사용하면 다음과 같습니다. 여기서

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

따라서 식 (3)은 정확한 큰 표본 분산을 제공합니다. 대한 편향 추정량 은 이며 분산은 다음과 같습니다.$\delta$$b d$

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

자유 큰 도로 용 (즉 큰 ), 비 - 중앙의 분산 가진 변량 자유 비 중심적 파라미터의도 근사 할 수 ( Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995 ). 따라서 $n_T+n_C-2$$t$$\nu$$p$$1 + \frac{p^2}{2\nu}$

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

에 대한 견적 도구를 연결 하면 완료됩니다.$\delta$