N 정상 iid 제품의 대략적인 분포? 특수한 경우 μ≈0

을 감안할 때 IID , 그리고 찾고 : $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

정확한 닫힌 형태 분포 근사 $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
동일한 제품의 점근 적 ( 지수 ?) 근사

이것은 일반적인 질문 인 의 특별한 경우 입니다. $\mu_X \approx 0$

1. 및 대한 정보가 있습니까? ( 예를 들어 모든 입니다.) (2) 점근 적으로 는 원격으로 정상적으로 보이지 않으므로 점근 적 정규 근사는 끔찍 합니다.

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

방금 이것으로 빨리 놀았습니다. 관심이 있으시면 iid 인 랜덤 변수 의 곱에 대한 정확한 닫힌 형태 솔루션을 얻을 수 있습니다. 0이 아닌 경우는 훨씬 복잡합니다.

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— wolfies

@whuber (1) 다른 및 몬테 카를로를 한 후 , 분포가 및 대해 다소 잘 작동 한다는 것을 . 이제 가 근사치가 거의 것과 비슷한 및 대한 멋진 표현 을 찾고 싶습니다 . 테일러 확장을 통해 근사치를 거의 만들지 않았지만 잘못 작동합니다. (2) 음 , 는 카이 제곱을 가진 법선의 합과 같이 "보이는 것"이므로 근사치가 "증명"하면 를 법선으로 줄일 수 있습니다.

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

— Andrei Pozolotin

일 때 , 는 로그 정규 분포에 의해 근사화됩니다 ( Barry-Esseen 정리 를 쇼에 적용).

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

Barry-Esseen의 @whuber 직접 응용 프로그램은 를 제공하지만 실제로는 좋지만 일부 구조가 합니다 . 는 음수 여야하고 는 등을 적용하는 더 좋은 방법이 있습니까?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Andrei Pozolotin

제로 평균 사례 (파트 B)에서 정확한 솔루션을 얻을 수 있습니다.

문제

하자 나타낸다는 IID 변수, 일반적인 PDF의 각 : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

대해 의 pdf를 찾습니다. $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

해결책

이러한 두 가지 법선의 곱에 대한 pdf는 다음과 같습니다.

... Mathematica 용 mathStatica 패키지 의 TransformProduct함수를 사용하고 있습니다 . 지원 영역은 다음과 같습니다.

3, 4, 5 및 6 법선의 곱은 동일한 기능을 반복적으로 적용하여 얻습니다 (여기에서 네 번).

... 여기서 Meijer G 함수를MeijerG 나타냅니다

유도에 의해, iid 랜덤 변수 의 곱의 pdf 는 다음과 같습니다. $n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

빠른 몬테 카를로 확인

다음은 빠른 검사 비교입니다.

방금 얻은 이론적 pdf ( 및 ) : RED DASHED curve $n = 6$ $\sigma=3$
경험적인 Monte Carlo pdf로 : 구불 구불 한 BLUE 곡선

좋아 보인다! [파란색 구불 구불 한 Monte 곡선이 정확한 빨간색 점선 곡선을 가리고 있음]

— 늑대
소스

감사합니다, 콜린 이제 나는 왜 당신의 책을 사야하는지 알 것 입니다 :-) 또한 가 더 단순 해 보이는지 궁금합니다 . Wolfram 기술을 습격 할 시간입니다.

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$

— Andrei Pozolotin