이 배포판에 이름이 있습니까? 아니면 확률 론적 프로세스가 무엇일까요?

질량 함수를 갖는 이산 분포

피 (엑스; 케이) = \frac{케이}{(엑스 + 케이) (엑스 + 케이 - 1)}, 엑스 = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

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들면 이것은이다 성탄절 시몽 분포 와 ,하지만 다른 실시 예를 찾을 수있다. $k=1$ $\rho=1$

이름이 있습니까? 다른 상황에서도 나타 납니까? 그것을 생성 할 수있는 간단한 확률 적 프로세스가 있습니까?

distributions

— 사이먼 번
소스

이산 전력 법입니다.

(이것은 기술적 인 용어가 아니라 아래에서 정확한 의미를 갖는 설명 입니다. "이산 전력 법"이라는 문구는 @Cardinal이이 답변에 대한 의견에서 지적한 것처럼 약간 다른 기술적 의미를 갖습니다.)

이를 확인하기 위해 부분 분수 분해를 쓸 수 있음을 관찰하십시오

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

CDF 망원경은 닫힌 형태로되어 있습니다.

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(우연히, 이것은 쉽게 뒤집 히기 때문에 즉시이 분포에서 임의의 변수를 생성하는 효율적인 방법을 제공합니다 : 단순히 계산 $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ 어디 $u$ 에 균일하게 배포 $(0,1)$ .)

이 표현과 관련하여 차별화 $i$ CDF가 어떻게 적분으로 작성 될 수 있는지 보여줍니다 .

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

어떻게

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

이 형태의 글쓰기 $k$ 밀도에 의해 결정된 (연속) 분포 패밀리에 대한 척도 모수

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

그리고 방법을 보여줍니다 $p(x;k)$ 이산화 버전입니다 $f$ (스케일 $k$ )에서 구간에 대한 연속 확률을 적분하여 얻은 $x-1$ 에 $x$ . 그것은 분명히 지수를 가진 힘 법칙 입니다 $-2$ . 이 관찰을 통해 전력 법과 과학, 공학 및 통계에서 어떻게 발생하는지에 대한 광범위한 문헌을 볼 수 있습니다. 이는 마지막 두 가지 질문에 대한 많은 답변을 제시 할 수 있습니다.

— 우버
소스

(+1) 확률 질량 함수에서

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$ 같이

x \to \infty

$x \to \infty$ , 그것이 전력 법칙 분포라는 결론을 내리기에 충분할 것 같습니다. 사실로,

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$ 같이

x \to \infty

$x \to \infty$ .

— 추기경

@cardinal 당신 말이 맞지만,이 주장에는 한계가 있습니다.

p

$p$ 이다 점근 전원 법. 계산에 따르면이 법칙은 정확히 이산화 된 버전의 전력 법칙 인 것으로 나타났습니다 .

— whuber

나는 당신이 그리는 구별에 대해 잘 모르겠습니다. 불행히도, 나는 그것에 대해 신중하게 생각할 기회를 얻지 못했지만 이산 전력 법 배포를 연속 전력 법 배포의 이산 버전으로 정의하는 것으로 보입니다. 귀하의 의견을 올바르게 해석하고 있습니까? 어쨌든, 문헌에서 이산 권력 법에 대한 언급을 볼 때, 일반적인 정의는 내가 사용한 약한 것 (즉, 점근 적) 인 것 같습니다. (계속)

— 추기경

반면에, Zipf 배포 는 가능한 한 이산 전력 법칙만큼 순수한 것처럼 보이지만 연속 전력 법칙의 이산화로 생성 될 수는 없다고 생각합니다. 내가 당신의 의도를 잘못 해석 했습니까? (그런 식으로, 위의 개발은 꽤 훌륭합니다. 쉬운 샘플링 방식의 인식과 마찬가지로 cdf의 텔레 스코핑 합계 인식은 훌륭합니다.)

— 추기경

자, 조금 더 조사한 후, 더 자세한 내용을 찾았습니다.

베타와 기하 분포가 연속적으로 혼합 된 특별한 경우이므로 베타 기하 분포 라고 할 수 있습니다. . 구체적으로 다음과 같은 경우 :

피 \sim 비 이자형 티 ㅏ (1, 케이)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$ 과:

엑스 | 피 \sim 지 이자형 영형 미디엄 이자형 티 아르 자형 나는 씨 (피)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$ 그런 다음 한계 분포

Y = X + 1

$Y = X+1$ 이 배포판이 있습니다. 따라서 베타-이항 이항 분포 의 특별한 경우입니다 .

여기에는 몇 가지 다른 흥미로운 속성이 있습니다.

무한한 의미가 있습니다
자체 꼬리 분포를 설명합니다. $X$ 이 분포는 모수와 함께 $k$ 그런 다음 $X-t | X>t$ 매개 변수가 있습니다 $t+k$ .

— 사이먼 번
소스