두 개의 iid lognormal 랜덤 변수의 차이점

하자 및 2 iidrv의 수 곳 . 의 분포를 알고 싶습니다 .X 2 로그 ( X 1 ) , 로그 ( X 2 ) ~ N ( μ , σ ) X 1 - X $X_1$$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

내가 할 수있는 최선의 방법은 테일러 시리즈를 모두 가져 와서 차이가 나머지 항 사이의 나머지 차이와 함께 두 정규 rv와 두 카이 제곱 rv의 차이의 합이라는 것을 얻는 것입니다. 2 iid log-normal rv의 차이 분포를 얻는 더 직접적인 방법이 있습니까?

이것은 어려운 문제입니다. 나는 로그 정규 분포의 모멘트 생성 기능을 사용하는 것에 대해 먼저 생각했습니다. 내가 설명하는 것처럼 작동하지 않습니다. 그러나 먼저 몇 가지 표기법이 있습니다.

하자 표준 정규 밀도 될 Φ 대응하는 누적 분포 함수. 밀도 함수 f ( x ) = 1 인 대수 정규 분포 l n N ( 0 , 1 ) 만 분석합니다.$\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$ 및 누적 분포 함수 F(x)=Φ(lnx)X와Y가 위의 로그 정규 분포를 갖는 독립적 인 랜덤 변수 라고 가정합니다. 우리는평균이 0 인 대칭 분포인D=X-Y의 분포에 관심이있습니다. 하자M(t)=는EEtX될 순간 발생 기능X를. t에대해서만 정의됩니다

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$$Y$$D=X-Y$$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$ 그래서 개방 구간이 제로 함유 정의되지의 모멘트 생성 함수. D는 인 M D ( t ) = E E t ( X - Y ) = E E t X E E - t Y = M ( t ) M ( - t ) . 그래서이위한 모멘트 생성 함수 D는 단지 정의되는 t = $t\in (-\infty,0]$$D$$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$$t=0$별로 유용하지 않습니다.

$D$$t\ge 0$

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ $t<0$$P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$).

This expression can be used for numerical integration or as a basis for simulation. First a test:

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

which is clearly correct. Let us wrap this up inside a function:

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

which gives:

Then we can find the density function by differentiating under the integral sign, obtaining

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

which we can test:

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

And plotting the density we get:

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

I did also try to get some analytic approximation, but so far didn't succeed, it is not an easy problem. But numerical integration as above, programmed in R is very fast on modern hardware, so is a good alternative which probably should be used much more.

This does not strictly answer your question, but wouldn't it be easier to look at the ratio of the $X$ and $Y$? You then simply arrive at

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

Depending on your application, this may serve your needs.