IV-probit에 대한 우도 함수 도출


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따라서 는 잠복 관찰되지 않은 변수이고 이진 모델이 있습니다. 결정한다 과 따라서 내 기기입니다. 요컨대 모델이 있습니다. 오류 용어는 독립적이지 않지만 IV- 프로 빗 모델을 사용합니다.y1y1{0,1}y2y1z2

y1=δ1z1+α1y2+u1y2=δ21z1+δ22z2+v2=zδ+v2y1=1[y>0]
(u1v2)N(0,[1ηητ2]).

우도 함수를 도출하는 데 문제가 있습니다. 오류 조건 중 하나를 다른 함수의 선형 함수로 작성할 수 있으므로 \ begin {eqnarray} u_ {1} = \ frac {\ eta} {\ tau ^ 2} v_ {2} + \ xi, \ qquad \ text {where} \ quad \ xi \ sim \ mathcal {N} (0, 1- \ eta ^ 2). 정상적인 CDF를 적용하기 위해서는 \ end {eqnarray}

u1=ητ2v2+ξ,whereξN(0,1η2).

ξ 사용해야합니다.

IV-probit 에 대한 Stata 매뉴얼 ( http://www.stata.com/manuals13/rivprobit.pdf )에서 조건부 밀도

f(y1,y2z)=f(y1y2,z)f(y2z)

가능성 함수를 도출하기 위해 실제로는 그렇지 않습니다 그것을 사용하십시오 (그렇습니다. 나는 잘못된 결과로 끝납니다 ...). 지금까지 나의 시도는

(와이1)=나는=1홍보(와이1=0와이2,)1와이1홍보(와이1=1와이2,)와이1=나는=1홍보(와이10)1와이1(홍보(와이1>0)에프(와이2))와이1[표준화]=나는=1홍보(ξ1η2δ11+α1와이2+ητ2(와이2)1η2)1와이1(홍보(ξ1η2<δ11+α1와이2+ητ2(와이2)1η2)에프(와이2))와이1=[1Φ()]1와이나는[Φ()에프(와이2엑스)]와이1
내가 말했듯이, 나는 위에서 언급 한 것처럼 조인트 밀도 함수에 대한 정의를 사용하지 않았습니다. 또한, 에프(와이2)y_1올라가서와이1 잘못된 것으로 보입니다. 누군가가 올바른 (log-) 우도 함수를 도출하는 방법이나 내가 잘못한 곳에 대한 힌트를 줄 수 있습니까?

답변:


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A에 대한 기억 이변 정상 가변 가 주어진 의 조건부 분포 는

(엑스와이)([μ엑스μ와이],[σ엑스2ρσ엑스σ와이ρσ엑스σ와이σ와이2]),
와이엑스
와이엑스(μ와이+ρσ와이엑스μ엑스σ엑스,σ와이[1ρ2]).

현재의 경우 즉, 여기서 (그리고 이것이 첫 번째 실수 임)

1V2(0+η1τ1V20τ,1[1(η1τ)2])=(ητ2V2,1η2τ2),
1=ητ2V2+ξ
ξ(0,1η2τ2).

따라서 첫 번째 방정식

와이1=δ11+α1와이2+1=δ11+α1와이2+ητ2V2+ξ=δ11+α1와이2+ητ2(와이2δ)+ξ.

이제 기억 그 조건부 확률 밀도 함수 의 주어진 인 엑스=엑스와이=와이

에프엑스(엑스와이)=에프엑스와이(엑스,와이)에프와이(와이).

이 경우에는 표현식

에프1(와이1와이2,)=에프12(와이1,와이2)에프2(와이2),
에프12(와이1,와이2)=에프1(와이1와이2,)에프2(와이2).

그런 다음 두 개의 독립적 인 충격 의 밀도에 대한 함수로 우도를 쓸 수 있습니다 . V1,ξ1

L(y1,y2z)=inf1(y1iy2i,zi)f2(y2izi)=inPr(y1i=1)y1iPr(y1i=0)1y1if2(y2izi)=inPr(y1i>0)y1iPr(y1i0)1y1if2(y2izi)=inPr(δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)+ξi>0)y1iPr(δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)+ξi0)1y1if2(y2izi)=inPr(ξi>[δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)])y1iPr(ξi[δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)])1y1if2(y2izi)=inPr(ξi01η2τ2>δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)+01η2τ2)y1iPr(ξi01η2τ2δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)+01η2τ2)1y1if2(y2izi)=inPr(ξi1η2τ2>wi)y1iPr(ξi1η2τ2wi)1y1if2(y2izi)=in[1Pr(ξi1η2τ2wi)]y1iPr(ξi1η2τ2wi)1y1if2(y2izi)=i[1Φ(wi)]y1iΦ(wi)1y1iφ(y2iziδτ)=inΦ(wi)y1i[1Φ(wi)]1y1iφ(y2iziδτ)=Φ(w)y1[1Φ(w)]1y1φ(y2zδτ)
여기서 및 는 표준 정규 분포의 누적 밀도 함수 및 확률 밀도 함수입니다.
wi=δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)1η2τ2.
Φ(z)φ(z)
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