장기 분산이란 무엇입니까?

시계열 분석 영역에서 장기 분산은 어떻게 정의됩니까?

데이터에 상관 관계 구조가있는 경우에 사용된다는 것을 알고 있습니다. 따라서 확률 론적 과정은 iid 임의 변수가 아니라 동일하게 분포 된 것입니까? $X_1, X_2 \dots$

개념에 대한 소개 및 추정과 관련된 어려움으로 표준 참조를 할 수 있습니까?

— 모노 라이트
소스

관련 : stats.stackexchange.com/questions/154070/…

— Taylor

연속 의존성이있을 때 표본 평균의 표준 오차를 측정 한 것입니다.

경우 인 공분산 고정, 및 (IID가 설정에서,이 수량이 제로가 될 것이다!)되도록 . 그런 다음 여기서 첫 번째 평등은 정의 , 두 번째는 설정하기가 조금 더 까다 롭고 세 번째는 의 결과입니다. 이는 입니다. $Y_t$ $E(Y_t)=\mu$ $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$

따라서 문제는 실제로 독립성이 부족하다는 것입니다. 보다 명확하게 보려면 표본 평균의 분산을

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

장기 분산 추정의 문제점은 물론 유한 데이터로 모든 자기 공분산을 관찰하지는 않는다는 것입니다. 이를 위해 커널 (econometrics, "Newey-West"또는 HAC 추정기)이 사용됩니다.

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ 는 커널 또는 가중치 함수이며 는 샘플 자기 공분산입니다. 는 무엇보다도 대칭이어야하고 이어야합니다 . 는 대역폭 매개 변수입니다.

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

인기있는 커널은 Bartlett 커널입니다. 좋은 교과서 참조는 Hamilton, Time Series Analysis 또는 Fuller 입니다. 중요한 (그러나 기술적 인) 저널 기사는 Newey and West, Econometrica 1987 입니다.

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— 크리스토프 행크
소스

감사합니다! Hamilton의 시계열 분석을 확인했습니다. 실제로 스펙트럼을 추정하는 비모수 적 방법은 표본 공분산의 가중 평균을 취하는 것이지만,이 진술의 결정 뒤에 수학을 탐구하지는 않습니다. 표본 크기가 커질 때 이것이 왜 좋은 추정기인지 설명하는 참고 서적이나 논문을 제안 할 수 있습니까?

— Monolite

좋은 지적. 일부 수정

— Christoph Hanck

두 번째 ( "tricky") 단계에는 지배적 인 수렴이 필요하다는 것을 언급 할 가치가 있습니다 ( stats.stackexchange.com/questions/154070/… 참조 ).

— Tamas Ferenci

@TamasFerenci, 포인터 주셔서 감사합니다, 나는 링크를 포함시켰다.

— Christoph Hanck

@ 크리스토프 행크, 당신은 환영합니다, 업데이트 주셔서 감사합니다!

— Tamas Ferenci