브라운 다리의 최상부에 왜 콜로 모고 로프-스 미르 노프 분포가 있는가?

Kolmogorov–Smirnov 분포는 Kolmogorov–Smirnov 검정 에서 알려져 있습니다 . 그러나 그것은 또한 브라운 다리의 최고의 분포입니다.

이것은 나에게 명백하지 않기 때문에,이 우연의 일치에 대한 직관적 인 설명을 부탁드립니다. 참조도 환영합니다.

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

여기서 $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

CLT에 의해 $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

이것은 직관입니다 ...

브라운 브리지 분산 보유 t ( 1 - t ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge 대체 t를 하여 F ( X를 ) . 이것은 하나의 x입니다 ...$B(t)$$t(1-t)$ $t$$F(x)$$x$

공분산도 확인해야하므로 (CLT) ( ) ( G n ( x 1 ) , … , G n ( x k ) ) → ( B 1 , ... , B의 k는 ) 여기서, ( B (1) , ... , B의 k는 ) 인 N ( 0 , Σ는 ) 와$x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$$\mathcal{N}(0,\Sigma)$ , σ i j = min ( F ( x i ) , F ( x j ) ) - F ( x i ) F ( x j ) . $\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

어려운 부분은 한계의 suppremum의 분포가 제한 분포의 supremum 것을 보여주는 것입니다 ... 이런 이유를 이해하는 것은 같은 Waart 및 Welner (쉽지 않은) 데르 반으로 책을 읽고, 어떤 경험적 프로세스 이론을 필요로 . 정리의 이름은 Donsker Theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

$n$$f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$

$q$$x=q$

$p$$p=2$$p$