비선형 회귀에 대한 예측 대역을 계산하는 방법은 무엇입니까?

Prism 의 도움말 페이지 는 비선형 회귀에 대한 예측 밴드를 계산하는 방법에 대한 다음 설명을 제공합니다. 긴 따옴표를 용서하십시오.하지만 두 번째 단락을 따르지 않습니다 ( 가 정의되고 가 계산되는 방법을 설명합니다 ). 도움을 주시면 감사하겠습니다.$G|x$$dY/dP$

신뢰도와 예측 대역의 계산은 상당히 표준입니다. 프리즘이 비선형 회귀의 예측 및 신뢰 구간을 계산하는 방법에 대한 자세한 내용을 읽으십시오.

먼저 G | x를 정의 해 봅시다. 이는 특정 X 값에서 매개 변수의 기울기이며 모든 매개 변수의 가장 적합한 값을 사용합니다. 결과는 매개 변수 당 하나의 요소가있는 벡터입니다. 각 매개 변수에 대해 dY / dP로 정의됩니다. 여기서 Y는 X의 특정 값과 모든 가장 적합한 매개 변수 값이 주어지면 곡선의 Y 값이고 P는 매개 변수 중 하나입니다.)

G '| x는 그 그라디언트 벡터가 바뀐 값이므로 행이 아닌 열입니다.

Cov는 공분산 행렬입니다 (마지막 반복에서 반전 된 Hessian). 행 수와 열 수가 매개 변수 수와 동일한 정사각 행렬입니다. 행렬의 각 항목은 두 모수 간의 공분산입니다.

이제 c = G '| x * Cov * G | x를 계산하십시오. 결과는 X 값에 대한 단일 숫자입니다.

신뢰도와 예측 밴드는 최적 곡선에 중심을두고 곡선 위와 아래에서 같은 양으로 확장됩니다.

신뢰 대역은 다음과 같이 곡선 위와 아래로 확장됩니다. = sqrt (c) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (Confidence %, DF)

예측 대역은 다음과 같은 곡선 위와 아래의 추가 거리로 확장됩니다. = sqrt (c + 1) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (Confidence %, DF)

이것을 델타 방법이라고합니다.

일부 기능이 있다고 가정 ; 참고 G는 ( ⋅ ) , 당신이 예상하는 매개 변수의 함수이다 β 하고 예측 값, X . 먼저 매개 변수 벡터 β : G ' ( β , x ) 와 관련하여이 함수의 미분을 찾으십시오 .$y = G(\beta,x) + \epsilon$$G(\cdot)$$\beta$$x$$\beta$$G^\prime(\beta, x)$. 이것은 매개 변수를 약간 변경하면 기능이 얼마나 변경됩니까? 이 도함수는 예측 변수뿐만 아니라 모수 자체의 함수일 수도 있습니다. 예를 들어, 이면 미분은 x exp ( β x ) 이며 이는 β 값과 x 값에 따라 다릅니다 . 이를 평가하기 위해, 당신의 추정치를 연결 β 프로 시저주는 것으로, β 및 예측의 값 $G(\beta,x) = \exp (\beta x)$$x \exp (\beta x)$$\beta$$x$$\beta$$\hat{\beta}$$x$ 당신이 예측을 원하는 곳.

최우 절차로부터 파생 델타 방법,의 분산한다고 될 것이다 G ' ( β , X ) T 바르 ( β ) G ' ( β , X ) , 바르 ( β$G\left(\hat{\beta}, x\right)$

$$G^\prime\left(\hat{\beta},x\right)^T \text{Var}\left(\hat{\beta}\right) G^\prime\left(\hat{\beta},x\right),$$ $\text{Var}\left(\hat{\beta}\right)$는 추정치의 분산-공분산 행렬입니다 (이는 Hessian의 역수와 같습니다-추정치에서 우도 함수의 2 차 미분). 통계 패키지가 사용하는 함수는 예측 변수 의 각기 다른 값에 대해이 값을 계산합니다 . 이것은 x의 각 값에 대한 벡터가 아닌 숫자 입니다.$x$$x$

이것은 각 점에서의 함수 값의 분산을 제공하고 이것은 단지 신뢰 구간을 계산의 다른 분산과 같이 사용됩니다 : 일반 또는 적용에 대한 임계 값에 의해 곱셈,이 값의 제곱근을 t의 A에 대한 관련 유통 신뢰 수준을 높이고이 값을 더하여 빼기 시점 의 추정치 에 더합니다.$G(\cdot)$

예측 구간의 경우 예측 변수 , Var ( y ∣ x ) ≡ σ 2가 주어진 결과의 분산 을 고려해야합니다. 따라서, 우리의 분산의 추정치에 의해 델타 방법에서 우리의 분산을 강화해야한다 ε , σ 2 의 분산 얻을, Y 보다는의 기대 값의 분산 Y 신뢰 구간에 사용됩니다. 참고 것을 σ 2 (제곱 오차의 합이다 자유도로 나눈 도움말 파일 표기법이) ( ).$x$$\text{Var}(y \mid x) \equiv \sigma^2$$\epsilon$$\hat{\sigma}^2$$y$$y$$\hat{\sigma}^2$SSDF

위의 도움말 파일에 사용 된 표기법에서 σ 2 값을 고려 c하지 않은 것처럼 보입니다 . 즉, 그들의 헤 시안의 역수는 내가주는 것의 σ - 2 배입니다. 그들이 왜 그런지 잘 모르겠습니다. 신뢰와 예측 구간을보다 친숙한 방식으로 쓰는 방법이 될 수 있습니다 ( σ의 횟수를 몇 배나 중요한 값 으로 곱함 ). 내가주는 차이는 실제로 그들의 표기법에 있습니다.$\sigma^2$$\sigma^{-2}$$\sigma$c*SS/DF

c$\left(x^\prime x\right)^{-1}$$\text{Var}\left(\hat{\beta}\right) = \sigma^2 \left(x^\prime x\right)^{-1}$