평균 및 분산을 알 수없는 정규 분포의 Jeffreys Prior

사전 분포를 읽고 있으며 평균 및 분산이 알려지지 않은 정규 분포 확률 변수의 표본에 대해 Jeffreys를 미리 계산했습니다. 내 계산에 따르면 다음은 Jeffreys 이전에 보유한 것입니다. 여기서 Fisher의 정보 매트릭스입니다.

p (μ, σ^{2}) = \sqrt{d e t (I)} = \sqrt{d e t (\begin{matrix} 1 / σ^{2} & 0 \\ 0 & 1 / (2 σ^{4}) \end{matrix})} = \sqrt{\frac{1}{2 σ^{6}}} \propto \frac{1}{σ^{3}} .

$p(\mu,\sigma^2)=\sqrt{det(I)}=\sqrt{det\begin{pmatrix}1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}}=\sqrt{\frac{1}{2\sigma^6}}\propto\frac{1}{\sigma^3}.$

I

$I$

그러나 나는 또한 다음과 같은 출판물과 문서를 읽었습니다.

$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2$ 는 Kass and Wassermann (1996)의 2.2 절을 참조하십시오 .
$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^4$ Yang and Berger (1998)의 25 페이지 참조

불확실한 평균과 분산을 갖는 정규 분포의 경우 Jeffreys와 같습니다. '실제'Jeffreys 이전은 무엇입니까?

— 누 시그
소스

답변:

필자는 불일치는 저자가 이상의 밀도 또는 이상의 밀도를 고려하는지 여부에 의해 설명된다고 생각합니다 . 이 해석을 지원하면서 Kass와 Wassermann이 쓰는 정확한 것은 이고 Yang과 Berger는 $\sigma$ $\sigma^2$

π (μ, σ) = 1 / σ^{2},

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma^2,$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4} .

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4.$

— A. 돈다
소스

고마워, 나는 이것을 간과했다. 그러나 이것은 여전히 과 사이의 불일치를 설명하지 않습니다 .

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ^{4}

$1/\sigma^4$

— Nussig 2016 년

실제로, 를 갖는 것은 이전의 을 갖는 것과 같습니다 . Jeffreys의 재 파라미터 화 특성 : with 의 Jacobian 행렬 , 즉 .

π (μ, σ) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma)=1/\sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2)=1/\sigma^3$

π (μ, σ) = π (μ, σ^{2}) d e t (J_{f}) \propto \frac{1}{σ^{3}} 2 σ \propto \frac{1}{σ^{2}}

$\pi(\mu, \sigma)=\pi(\mu, \sigma^2)det(J_f)\propto \frac{1}{\sigma^3}2\sigma \propto \frac{1}{\sigma^2}$

J_{f}

$J_f$

f : (μ, σ) \to (μ, σ^{2})

$f: (\mu, \sigma)\to (\mu, \sigma^2)$

J_{f} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 σ \end{matrix})

$J_f=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\sigma\end{pmatrix}$

— Nussig

@Nussig, 계산을 확인한 결과 올바르게 도착했다고 생각합니다 . 또한 재 파라미터 화는 요소에만 해당됩니다 . 이것을 고려하면 계산은 Kass와 Wassermann에 따르며 Yang과 Berger는 실수를 한 것만 추측 할 수 있습니다. 전자는 정기적으로 검토되는 저널 논문이고 후자는 일종의 수식 수집 초안이기 때문에 의미가 있습니다.

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ

$1/\sigma$

— A. Donda

Kass와 Wassermann은 Jeffreys가 위치 및 스케일 매개 변수를 개별적으로 처리해야하는 수정 된 규칙을 도입했다고 언급했다. 이것은 이어지고 따라서 만 여전히 는 아닙니다) 입니다.

π (μ, σ) = 1 / σ

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4$

— A. Donda

Jim Berger는 여전히 활발한 과학자이므로 직접 확인하시기 바랍니다. stat.duke.edu/~berger

— A. Donda

기존 답변은 이미 원래 질문에 잘 대답했습니다. 물리학 자로서 저는이 논의에 차원 성 논증을 추가하고 싶습니다. 실제 1D 공간에서 랜덤 변수의 분포를 설명하고 미터 단위로 측정하기 위해 및 를 고려하는 경우 치수는 및 . 물리적으로 올바른 사전을 가지려면 올바른 치수를 가져야합니다. 즉, 비모수 적 사전 에서 물리적으로 가능한 의 유일한 힘 은 다음과 같습니다. 과 . $\mu$ $\sigma^2$ $[\mu] \sim m$ $[\sigma^2] \sim m^2$ $\sigma$

π (μ, σ) \sim 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma) \sim 1/\sigma^{2}$

π (μ, σ^{2}) \sim 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2) \sim 1/\sigma^{3}$

— Dr_Zaszuś
소스

두 번째 표현식에 왜 가 있습니까?

σ^{3}

$\sigma^{3}$

— cerebrou

$\frac{1}{\sigma^3}$ 은 Jeffreys 이전입니다. 그러나 실제로는 가 비교적 자주 뒤 따르는 원인으로 사용되는 경우가 많으므로,이 선행의 "직관"은 에서 플랫 이전과 일치한다는 것 입니다. $\frac{1}{\sigma^2}$ $\log(\sigma)$

— 존 비 클러
소스

감사합니다, @Noshgul. 에서 플랫에 대한 요점을 얻습니다 . 그러나 '상대적으로 간단한 후부'에 대해 자세히 설명해 주시겠습니까? 내가 실수하지 않으면 Jeffrey의 이전 결과는 정규 역- 후부, 즉 종래 정상 - inverse- 초래한다 도, 단지 다른 매개 변수 후방.

\log (σ)

$\log(\sigma)$

χ^{2}

$\chi^2$

(μ, σ^{2}) | D \sim N χ^{- 1} (\bar{X}, n, n, \frac{1}{n} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}) .

$(\mu,\sigma^2)|D \sim \mathcal{N}\chi^{-1}\left(\overline{X}, n,n, \frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\right).$

1 / σ^{2}

$1/\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— Nussig

그렇습니다. 정상-역- 됩니다. 의 한계 가 n 자유도 대신 n-1을 가진 역 라는 것이 더 당연하다는 것을 알았습니다 . 어쨌든, 나는 다른 이전의 것들이 성가신 분배로 이어질 것이라는 것을 암시하고 싶지 않았습니다. 솔직히 말해서 나는 제프리의 이전의 후서를 잘 알지 못했고 글을 쓸 때 그것에 대해 많이 생각하지 않았습니다.

χ^{2} (\bar{X}, n, n - 1, s^{2})

$\chi^2(\bar{X},n,n-1,s^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— Jorne Biccler