GLM의 유사-포아송이 왜 음이 항의 특수한 경우로 취급되지 않습니까?

과도하게 분산되거나 분산되지 않은 카운트 데이터 세트에 일반 선형 모델을 맞추려고합니다. 여기에 적용되는 두 가지 정규 분포는 Poisson과 Negative Binomial (Negbin)이며 EV 와 분산입니다.$\mu$

$Var_P = \mu$

$Var_{NB} = \mu + \frac{\mu^2}{\theta}$

이는 사용 R에 장착 가능 glm(..,family=poisson)하고 glm.nb(...), 각각. quasipoisson내 이해에는 동일한 EV와 분산으로 조정 된 포아송 이라는 가족 도 있습니다.

$Var_{QP} = \phi\mu$ ,

즉, 포아송과 네빈 사이 어딘가에 떨어집니다. quasipoisson 제품군의 주요 문제점은 해당 가능성이 없기 때문에 매우 유용한 통계 테스트 및 적합 측정치 (AIC, LR 등)를 사용할 수 없다는 것입니다.

QP와 Negbin 분산을 비교하는 경우 를 넣어 동일화 할 수 있습니다 . 이 논리를 계속하여 quasipoisson 분포를 Negbin의 특수한 사례로 표현할 수 있습니다.$\phi = 1 + \frac{\mu}{\theta}$

$QP\,(\mu,\phi) = NB\,(\mu,\theta = \frac{\mu}{\phi-1})$ ,

즉 Negbin와 선형 종속 . 위 공식에 따라 임의의 숫자 시퀀스를 생성하고 다음과 같이 피팅 하여이 아이디어를 검증하려고했습니다 .$\theta$$\mu$glm

#fix parameters

phi = 3
a = 1/50
b = 3
x = 1:100

#generating points according to an exp-linear curve
#this way the default log-link recovers the same parameters for comparison

mu = exp(a*x+b) 
y = rnbinom(n = length(mu), mu = mu, size = mu/(phi-1)) #random negbin generator

#fit a generalized linear model y = f(x)  
glmQP = glm(y~x, family=quasipoisson) #quasipoisson
glmNB = glm.nb(y~x) #negative binomial

> glmQP

Call:  glm(formula = y ~ x, family = quasipoisson)

Coefficients:
(Intercept)            x  
    3.11257      0.01854  
(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 3.613573)

Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null);  98 Residual
Null Deviance:      2097 
Residual Deviance: 356.8    AIC: NA

> glmNB

Call:  glm.nb(formula = y ~ x, init.theta = 23.36389741, link = log)

Coefficients:
(Intercept)            x  
    3.10182      0.01873  

Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null);  98 Residual
Null Deviance:      578.1 
Residual Deviance: 107.8    AIC: 824.7

두 적합치 모두 모수를 재현하며, quasipoisson은 대해 '합리적인'추정치를 제공합니다 . 이제 quasipoisson에 대한 AIC 값을 정의 할 수도 있습니다.$\phi$

df = 3 # three model parameters: a,b, and phi
phi.fit = 3.613573 #fitted phi value copied from summary(glmQP)
mu.fit = glmQP$fitted.values 

#dnbinom = negbin density, log=T returns log probabilities
AIC = 2*df - 2*sum(dnbinom(y, mu=mu.fit, size = mu.fit/(phi.fit - 1), log=T))
> AIC
[1] 819.329

(나는 객체 에서 찾을 수 없으므로 에서 값 을 수동으로 복사해야 했습니다 )$\phi$summary(glmQP)glmQP

이후 , 이것은 quasipoisson는, 당연히, 더 나은 적합 것을 나타냅니다; 따라서 최소한 야 할 일을 수행하므로, 이는 의 AIC (및 확장 가능성)에 대한 합리적인 정의 일 수 있습니다. 내가 남긴 큰 질문은 A I C Q $AIC_{QP} < AIC_{NB}$$AIC_{QP}$

1. 이 아이디어가 의미가 있습니까? 내 검증은 순환 추론을 기반으로합니까?
2. 잘 확립 된 주제에서 빠진 것 같은 것을 '발명'하는 사람에게 가장 중요한 질문은이 아이디어가 의미가 있다면 왜 이미 구현되지 glm않았는가?

편집 : 그림 추가

유사-포아송은 완전 최대 가능성 (ML) 모델이 아니라 유사 -ML 모델입니다. 포아송 모델의 추정 함수 (또는 점수 함수)를 사용하여 계수를 추정 한 다음 특정 분산 함수를 사용하여 적절한 표준 오차 (또는 전체 공분산 행렬)를 얻어 추론을 수행합니다. 따라서, glm()제공하지 않습니다 logLik()또는 AIC()등에 여기

size$\theta_i$$\mu_i$

더 회귀 (단지 절편)을 NB1의 매개 변수화에 의해 사용되는 NB2의 매개 변수화가없는 경우 MASS의 glm.nb()이 일치가. 회귀 자와는 다릅니다. 통계 문헌에서 NB2 매개 변수화가 더 자주 사용되지만 일부 소프트웨어 패키지도 NB1 버전을 제공합니다. 예를 들어 R에서는 gamlss패키지를 사용하여 할 수 있습니다 gamlss(y ~ x, family = NBII). NB2 매개 변수화 및 NB1에 다소 혼란스럽게 gamlss사용 NBI합니다 NBII. 그러나 전문 용어와 용어가 모든 커뮤니티에 통일 된 것은 아닙니다.

그렇다면 NB1이 있다면 왜 quais-Poisson을 사용 하는가? 여전히 미묘한 차이가 있습니다. 전자는 유사 ML을 사용하고 제곱 편차 (또는 피어슨) 잔차에서 분산으로부터 추정값을 얻습니다. 후자는 전체 ML을 사용합니다. 실제로 차이는 크지 않지만 두 모델을 사용하는 동기는 약간 다릅니다.