분산의 역함수

주어진 상수 (예 : 4)에 대해 에 대한 확률 분포를 찾을 수 있으므로 ?$r$$X$$\mathrm{Var}(X)=r$

의 경우를주의 깊게 고려하십시오 . 이면 분포가 퇴화되지만 는 평균을 가질 수 있습니다. 즉, 대해 및 입니다 . 따라서 에 대해 가능한 많은 분포를 찾을 수 있지만 의해 색인화되고 완전히 지정됩니다 .$r$$r=0$$X$$\Pr(X=\mu)=1$$\Pr(X=c)=0$$c \neq \mu$$X$$\mu \in \mathbb{R}$

경우 어떠한 분포 때문에, 발견되지 .$r<0$$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X-\mu_X)^2 \geq 0$

들어 , 대답은 추가 정보가에 대해 알려진에 따라 달라집니다 . 예를 들어, 가 평균 인 것으로 알려진 경우 , 및 대해 을 취함으로써 이러한 모멘트를 갖는 분포를 찾을 수 있습니다 . 이것은 평균과 분산을 일치시키는 문제에 대한 유일한 해결책은 아니지만, 정규 분포가 유일하게 분산 된 솔루션입니다 (그리고 가능한 모든 솔루션 중에서 이것은 Daniel이 지적한 것처럼 엔트로피를 최대화하는 솔루션입니다). 예를 들어 세 번째 중심 모멘트 이상 을 일치 시키려면 더 넓은 범위의 확률 분포를 고려해야합니다.$r>0$$X$$X$$\mu$$\mu \in \mathbb{R}$$r>0$$X \sim N(\mu, r)$

대신 의 순간보다는 의 분포에 대한 정보가 있다고 가정하십시오 . 예를 들어, 가 Poisson 분포를 따른다는 것을 알고 있다면 고유 한 솔루션은 입니다. 가 지수 분포를 따른다는 것을 알고 있다면 , 고유 한 솔루션 . 여기서 을 해결하여 모수를 찾았습니다 .$X$$X$$X \sim \mathrm{Poisson}(r)$$X$$X \sim \mathrm{Exponential}(\frac{1}{\sqrt{r}})$$\mathrm{Var}(X) = r = \frac{1}{\lambda^2}$

다른 경우에는 전체 솔루션 제품군을 찾을 수 있습니다. 가 직사각형 (연속 균일 분포) 분포를 따른다는 것을 알면 를 풀어 분포 의 고유 너비 를 찾을 수 있습니다 . 그러나 의해 매개 변수화 된 의 전체 솔루션 계열이있을 것 입니다.이 세트의 분포는 모두 서로의 번역입니다. 마찬가지로 가 정규이면 모든 분포 이 작동합니다 (따라서 우리는 색인 된 전체 솔루션 세트를 갖습니다 . 이는 다시 임의의 실수가 될 수 있으며 패밀리는 모두 번역입니다) 서로의). 만약$X$$w$$\mathrm{Var}(X) = r = \frac{w^2}{12}$$X \sim U(a, a+w)$$a \in \mathbb{R}$$X$$X \sim N(\mu, r)$$\mu$$X$ 다음 감마 분포 형상 스케일 파라미터를 사용하고, 우리는 솔루션의 가족을 얻을 수 있고, 에서 parametized . 이 가족의 구성원은 서로의 번역이 아닙니다. "솔루션 계열"이 어떻게 보이는지 시각화하기 위해 색인화 된 정규 분포의 예 와 색인화 된 감마 분포 ( 예 : 의 예 : 에 해당) 당신의 질문.$X \sim \mathrm{Gamma}(\frac{r}{\theta^2}, \theta)$$\theta > 0$$\mu$$\theta$$r=4$

반면에 일부 분포의 경우 값에 따라 해를 찾는 것이 가능하지 않을 수도 있습니다 . 예를 들어 만약 에 대해 다음 베르누이 변수이어야 두 가지 해결책이 존재 개의 확률이 있기 때문에 방정식을 해결 이고 실제로이 두 확률은 상보 적입니다. 즉 입니다. 들면 에만 고유 용액가 , 및 대한 더 베르누이 분포는 충분히 높은 변화가 없다.$r$$X$$0 \leq r \lt 0.25$$X \sim \mathrm{Bernoulli}(p)$$p$$\mathrm{Var}(X) = r = p(1-p)$$p_1 + p_2 = 1$$r=0.25$$p=0.5$$r>0.25$

나는 케이스를 언급해야한다고 생각합니다 . 이 경우에 대한 해법도 있습니다 (예 : 자유도가 2 인 스튜던트 분포) .$r = \infty$$t$

플롯의 R 코드

require(ggplot2)

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=-8, to=8, length=100), times=5),
    mu = rep(c(-4, -2, 0, 2, 4), each=100))
x.df$pdf <- dnorm(mean=x.df$mu, x.df$x)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(mu), colour=factor(mu))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(mu), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Normal distributions with variance 4")

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=0, to=20, length=1000), times=5),
    theta = rep(c(0.25, 0.5, 1, 2, 4), each=1000))
x.df$pdf <- dgamma(x.df$x, shape=4/(x.df$theta)^2, scale=x.df$theta)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(theta), colour=factor(theta))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(theta), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Gamma distributions with variance 4") +
    coord_cartesian(ylim = c(0, 1)) 

뜻 가정하면 "것이 가능 찾는 것입니다 확률 분포 에 대한 당신이 것을 어떤 기준을 지정하지 않은 것처럼"그 대답은 '예' 만족해야합니다. 실제로이 조건을 만족시킬 수있는 무한한 분포가 있습니다. 정규 분포 . 당신은 설정할 수 있습니다 하고 처럼 어떤 값을 취할 수 - 당신이 다음 것이다 필요에 따라.$X$$X$$\mathcal{N}(x ; \mu, \sigma^2)$$\sigma^2 = r$$\mu$$Var[X] = r$

실제로, 정규 분포는 주어진 평균과 분산에 대한 최대 엔트로피 확률 분포 이므로 이와 관련하여 다소 특별 합니다.

이 질문은 흥미롭고 완전히 사소한 것이 아닌 방식으로 해석 될 수 있습니다. 임의의 변수처럼 보이는 가 주어지면 , 분산이 미리 지정된 수 과 같은 방식으로 확률을 값에 할당하거나 기존 확률을 주변으로 이동시킬 수 있습니까? 대답은 가능한 모든 값 이 허용되며 최대 범위는 범위에 의해 결정됩니다 .$X$$r$$r\ge 0$$X$

이러한 분석에 대한 잠재적 관심은 특정 목표를 달성하기 위해 확률 변수를 변경하고 임의 변수를 고정 된 상태로 유지하는 아이디어에 있습니다. 이 응용 프로그램은 간단하지만 수학 재무의 기본 결과 인 Girsanov 정리의 기본 아이디어를 표시합니다 .

이 질문을 엄격하고 모호하지 않은 방식으로 다시 설명하겠습니다. 가정

sigma-algebra 로 측정 공간 에 정의 된 측정 가능한 함수 입니다. 주어진 실수 , 이 공간에서 확률 측정 를 언제 찾을 수 있습니까?$\Omega$$\mathfrak{S}$$r \gt 0$$\mathbb{P}$$\text{Var}(X) = r$

대답은 때 가능하다는 것 입니다. $\sup(X) - \inf(X) \gt 2\sqrt{r}$ (최고와 부정이 모두 달성되면 평등을 유지할 수 있습니다. 즉, 실제로 의 최대 값과 최소값입니다 .) 또는 인 경우이 조건 제한을 두지 않으면 음수가 아닌 모든 분산 값이 가능합니다.$X$$\sup(X)=\infty$$\inf(X)=-\infty$$r$

증거는 건설에 의한 것입니다. 간단한 버전으로 시작하여 세부 사항을 처리하고 기본 아이디어를 고정한 다음 실제 구성으로 넘어 갑시다.

1. 하자 이미지 될 :가이 의미 되는 . 설정 함수 을 의 표시 . 즉, 및 경우 때 입니다.$x$$X$$\omega_x\in\Omega$$X(\omega_x) = x$$\mathbb{P}:\mathfrak{S}\to [0,1]$$\omega_x$$\mathbb{P}(A) = 0$$\omega_x\notin A$$\mathbb{P}(A) = 1$$\omega_x\in A$

   이후 , 분명히 만족하는 확률의 처음 두 공리 . 그것이 세 번째를 만족한다는 것을 보여줄 필요가있다. 즉, 그것은 시그마 첨가제입니다. 그러나 이것은 명백한 거의입니다 : 때마다 상호 배타적 이벤트의 유한 또는 countably 무한 집합입니다, 다음 둘 중 하나 하나도 포함하지 .. 이대로 경우 모든 대해 또는 정확히 하나에 가 포함 ,이 경우 특정 대해 이고 그렇지 않으면 모든 위해$\mathbb{P}(\Omega)=1$$\mathbb P$$\{E_i, i=1, 2, \ldots\}$$\omega_x$$\mathbb{P}(E_i)=0$$i$$\omega_x$$\mathbb{P}(E_j)=1$$j$$\mathbb{P}(E_i)=0$$i\ne j$. 두 경우 모두

   $$\mathbb{P}\left(\cup_i E_i\right) = \sum_i \mathbb{P}(E_i)$$

   양변이 모두 또는 모두 이기 때문 입니다.$0$$1$

   이후 모든 확률을 집중 의 분포 집중되고 및 영 분산을 가져야한다.$\mathbb{P}$$\omega_x$$X$$x$$X$

2. 하자 의 범위에있는 두 개의 값이 될 ; 즉, 및 입니다. 이전 단계와 유사한 방식으로 측정 값 를 및 의 지표의 가중 평균으로 . 를 결정 하려면 음이 아닌 가중치 및 를 사용하십시오. 이전과 마찬가지로 (1)에서 설명한 지표 측정 값의 볼록한 조합 인 는 확률 측정 값입니다. 이 측정에 대한 의 분포 는 Bernoulli$x_1 \le x_2$$X$$X(\omega_1) = x_1$$X(\omega_2) = x_2$$\mathbb{P}$$\omega_1$$\omega_2$$1-p$$p$$p$$\mathbb{P}$$X$$(p)$ 의해 조정 되고 의해 이동 된 . Bernoulli 분포의 분산이 이므로 의 분산은 이어야합니다 .$x_2-x_1$$-x_1$$(p)$$p(1-p)$$X$$(x_2-x_1)^2p(1-p)$

(2)의 직접적인 결과는이다 되는 존재 의 범위에서 및 하는$r$$x_1 \le x_2$$X$$0 \le p \lt 1$

의 분산 일 수 있습니다 . 이후 , 이것이 의미$X$$0 \le p(1-p) \le 1/4$

에 최대 값과 최소값이있는 경우에만 동등하게 유지됩니다 .$X$

반대로, 이 의이 범위를 초과하는 경우 , 우리는 이미 임의의 경계 변수의 분산이 4 분의 1을 초과 할 수 없다는 것을 알고 있기 때문에 해결책이 없습니다. 범위의 제곱.$r$$(\sup(X)-\inf(X))^2/4$

예, 그러한 분포를 찾을 수 있습니다. 사실 당신이 취할 수 유한 분산 어떤 유통 , 당신의 상태에 맞게, 그리고 규모 때문에

예를 들어, 구간 의 균일 분포 는 분산이 있습니다 : 따라서 간격의 균일 분포 는 분산 입니다.$[0,1]$

실제로 이것은 Student t와 같은 일부 분포에 모수를 추가하는 일반적인 방법입니다. 여기에는 하나의 매개 변수 인 자유도가 있습니다. 때 표준 정상 분포에 수렴. 종 모양이며 보통과 비슷하지만 꼬리가 더 굵습니다. 그것이 꼬리가 뚱뚱 할 때 정규 분포의 대안으로 종종 사용되는 이유입니다. 유일한 문제는 가우스 분포에 두 개의 매개 변수가 있다는 것입니다. 따라서, " t 위치 스케일"분포 라고도하는 Student t의 스케일 버전이 제공됩니다 . 이것은 매우 간단한 변환입니다 : 여기서 는 위치와 스케일입니다. 이제 새 변수 되도록 축척을 설정할 수 있습니다$\nu$$\nu\to\infty$$\xi=\frac{t-\mu}{s}$$\mu,s$$\xi$ 필요한 분산이 있으며 Student t 분포의 모양을 갖습니다.