평균적으로 대체하지 않고 항아리에서 추출 할 때 항아리의 확률 분포가 변경됩니까?

N 개의 다른 색의 공을 포함하는 항아리가 있고 각각의 다른 색이 다른 횟수로 나타날 수 있다고 가정하십시오 (빨간색 공이 10 개 있으면 파란색 공도 필요하지 않음). 우리가 그림을 그리기 전에 항아리의 정확한 내용을 알면 각 색의 공을 그릴 확률을 알려주는 불연속 확률 분포를 형성 할 수 있습니다. 궁금한 점은 평균적으로 항아리 에서 교체하지 않고 k 볼을 그린 후 분포가 어떻게 변하는 지입니다.. 우리가 항아리에서 끌어 올 때 우리는 무엇을 꺼내 었는지에 대한 지식으로 분포를 업데이트 할 수 있지만, 알고 싶은 것은 k 볼을 제거한 후에 분포의 모양이 무엇인지 알 것입니다. 분포가 평균적으로 변합니까, 아니면 동일하게 유지됩니까? 동일하게 유지되지 않으면 k 분포를 만든 후 새로운 분포가 평균적으로 어떻게 보일지에 대한 공식을 작성할 수 있습니까?

1. "직접 계산":하자 $n$ 의 공 $m$항아리에 색깔. 두 번째 추첨에서 하나의 특정 색상 (예 : white )을 그릴 가능성에 초점을 맞추겠습니다 . 흰 공의 수를 보자$n_w$. 허락하다$X_i$ 에서 얻은 공의 색이다 $i$-무승부.

   $$\begin{eqnarray} P(X_2=W)&=&P(X_2=W|X_1=W)P(X_1=W)+P(X_2=W|X_1=\overline{W})P(X_1=\overline{W})\\ &=&\frac{n_w-1}{n-1}\frac{n_w}{n}+\frac{n_w}{n-1}\frac{n-n_w}{n}\\ &=&\frac{n_w(n-n_w+n_w-1)}{n(n-1)}\\ &=&\frac{n_w}{n}\\ &=&P(X_1=W) \end{eqnarray}$$

   물론이 주장은 두 번째 추첨의 모든 색상에 적용됩니다. 나중에 추첨을 고려할 때 동일한 종류의 인수를 재귀 적으로 적용 할 수 있습니다.

   [물론 훨씬 더 직접적인 계산을 수행 할 수 있습니다. 첫 번째 고려$k$ 로 구성된 것으로 그립니다 $i$ 하얀 공 $k-i$ 흰색이 아닌 공 (초기 하 분포에 의해 주어진 확률), 위의 간단한 것에 대한 해당 계산을 수행하지만 단계에서의 추첨을 위해 $k+1$; 하나는 비슷한 단순화와 취소를 얻지 만 특별히 수행하는 것은 깨달 지 않습니다.]

2. 짧은 주장 : 숫자로 공을 무작위로 표시하는 것을 고려하십시오. $1,2,...,n$라벨이 붙은 순서대로 그림을 그립니다. 이제 질문은 "주어진 라벨이$k$라벨과 같은 확률로 흰색 공 위에 위치 $1$ 흰 공에 놓이나요? "

   이제 레이블의 대칭으로 답이 "예"여야합니다. 마찬가지로, 공 색깔의 대칭에 의해, 우리가 "백색"이라고 말한 것은 중요하지 않습니다.$k$ 라벨 $1$모든 색상에 동일한 확률이 적용됩니다. 따라서 분포는$k$-th 추첨은 이전 추첨에서 추가 정보가없는 한 (즉, 초기 추첨 공이 보이지 않는 한) 첫 번째 추첨과 동일합니다.

분포가 변경되지 않은 상태 (최소한 하나의 공이 남아있는 경우)가 완전히 명확 하지 않은 유일한 이유는 정보가 너무 많기 때문입니다. 주의가 산만해진 재료를 제거합시다.

각 공의 색상을 잠시 무시하십시오. 한 공에 중점을 둡니다. 취하다$k$ 공은 무작위로 제거되고 (관찰되지 않음), a $k+1$st 공이 그려지고 관찰됩니다. 선택 순서에 차이가 없으므로 첫 번째로 그려진 공을 관찰 한 다음 다른 공을 제거 할 수 있습니다$k$당신이 주장하는 경우 공). 배포판은 다른 쪽을 제거해도 영향을받지 않기 때문에 분명히 변경되지 않았습니다.$k$ 불알.

이 주장은 완벽하게 유효하지만 일부 사람들은 불안감을 느낄 수 있습니다. 다음 분석은 선택 순서를 무시하도록 요청하지 않기 때문에보다 엄격한 것으로 받아 들여질 수 있습니다.

공에 계속 집중하십시오. 약간의 확률이 있습니다$p_k$ 로 선택된 $k+1$성 공. 이기는 하지만$p_k$계산하기 쉽고, 그 값을 알 필요가 없습니다. 중요한 것은 모든 공이 동일하기 때문에 각 공에 대해 동일한 값 이어야 하고 0이 아닌 것입니다. 그러나 그것이 0이라면, 어떤 공도 선택 될 확률이 없을 것입니다 : 적어도 하나의 공이 남아있는 한,$p_{k}\ne 0$.

색상에 다시주의하십시오. 정의에 따라 특정 색상이$C$ 선택됩니다 (후 $k$ 공은 무작위로 제거됩니다)는 모든 원본의 기회의 합입니다 $C$색깔 공을 모든 원래 공의 기회의 합으로 나눈 값. 원래있을 때$k_C$ 색깔의 공 $C$ 과 $n$ 공 총, 그 값은

언제 $k\lt n$ 그것은 의존하지 않습니다 $k$, QED .

이미 그려진 후 하나의 공을 그리는 분포를 시키십시오. $k$ 교체가 필요없는 공 — 범주 분포 $E(D_k)$ 이러한 범주 형 분포에 대한 분포가 주어지면 $D_k$.

나는 당신이 묻고 있는지 추측 $E(D_k)$ 일정합니다.

나는 생각합니다. 결국 모든 공을 그립니다. 공의 모든 순열은 똑같이 가능합니다. 처음에 그릴 확률은$E(D_0)$. 첫 번째로 선택한 공이 마지막으로 선택되고 두 번째로 선택된 공이 먼저 선택되는 등의 순열로 선택을 다시 정렬 할 수 있습니다. 그 공은 기대$E(D_1)$와 같아야합니다. $E(D_0)$대칭으로 인해. 유도함으로써$E(D_i)$ 모두 동일합니다.

"예상 분포"는 변경되지 않습니다. 하나는 martingale 논쟁을 사용할 수 있습니다! 나는 그 답을 나중에 추가 할 것입니다 (지금 여행 중입니다).

초기 추첨의 조건부 (나중 추첨의 경우)는 실제로 추첨을 관찰 할 때만 변경됩니다. 손을 단단히 닫은 채 공에서 공을 꺼내고 그 색을 관찰하지 않고 공을 버리면 (유연한 시연을 극장 시연으로 사용했습니다) 분포는 변하지 않습니다. 이 사실에 대한 설명은 다음과 같습니다. 확률은 정보에 관한 것이고 확률은 정보 개념입니다.

따라서 확률은 새로운 정보 (조건부 확률, 즉)를 얻을 때만 변경됩니다. 볼을 관찰하지 않고 공을 끌어 내려 버리는 것은 새로운 정보를 제공하지 않으므로 새로운 조건은 없습니다. 따라서 변경되지 않은 실제 정보 세트를 조건으로하면 조건부 분포를 변경할 수 없습니다.

 EDIT

이제이 답변에 대한 자세한 내용은 제공하지 않으며 Hosam M. Mahmoud : "Pólya Urn Models"(Chapman & Hall)을 추가하면이 질문의 모델과 같은 urn 모델과 훨씬 더 일반화 된 urn을 처리합니다. 또한 한계 결과를 얻기 위해 martingale 방법을 사용합니다. 그러나이 게시물의 질문에는 martingale 방법이 필요하지 않습니다.