Brownian Bridge를 사용하여 Brownian 여행을 시뮬레이션 하시겠습니까?

Brownian 소풍 과정을 시뮬레이션하고 싶습니다 ( 에서 ~ 일 때 조절되는 Brownian 모션은 항상 양수입니다 ). Brownian 소풍 과정은 항상 긍정적 인 조건을 가진 Brownian 교량이므로 Brownian 교량을 사용하여 Brownian 소풍의 움직임을 시뮬레이션하기를 바랐습니다.0 t = $0 \lt t \lt 1$$0$$t=1$

R에서는 브라운 브리지 프로세스를 시뮬레이션하기 위해 'h1017'패키지를 사용하고 있습니다. 이 브라운 브리지 프로세스를 사용하여 브라운 여행을 만들려면 어떻게해야합니까?

Vervaat의 다음 구성을 사용하여 다리에서 Brownian 여행을 구성 할 수 있습니다. https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176995155

@whuber의 BB 코드를 사용한 R의 빠른 근사치는

n <- 1001
times <- seq(0, 1, length.out=n)

set.seed(17)
dW <- rnorm(n)/sqrt(n)
W <- cumsum(dW)

# plot(times,W,type="l") # original BM

B <- W - times * W[n]   # The Brownian bridge from (0,0) to (1,target)

# plot(times,B,type="l")

# Vervaat construction
Bmin <- min(B)
tmin <- which(B == Bmin)
newtimes <- (times[tmin] + times) %% 1
J<-floor(newtimes * n)
BE <- B[J] - Bmin
plot(1:length(BE)/n,BE,type="l")

다음은 또 다른 음모입니다 (set.seed (21)). 소풍에 대한 주요 관찰은 컨디셔닝이 실제로 0에서 "반발"로 나타나고 내부에서 소풍이 에 가까운 것을 볼 수 없을 것 입니다. ( 0 , 1 $0$$(0,1)$

---

옆으로 : 브라운 브리지의 절대 값 분포 와 소풍 양수 는 양수 로 조절됩니다. 동일하지 않습니다. 직관적으로, 출발점에서 너무 가까운 브라운 경로가 곧 마이너스로 이동하여 컨디셔닝에 의해 처벌되기 때문에 여행은 출발점에서 반발됩니다. ( B B t ) 0 ≤ t ≤ $(|BB_t|)_{0 \le t \le 1}$$(BB_t)_{0 \le t \le 1}$

이것은 간단한 랜덤 워크 브리지와 단계의 여행으로 설명 될 수 있습니다. 이는 단계의 자연스러운 이산 유사체입니다.$6$

실제로 에서 시작하여 대칭 SRW를 가져옵니다 . 먼저, "브릿지"컨디셔닝을 고려하고 절대 값 만 취하면 어떻게되는지 봅시다. 모든 단순 경로 고려 길이의 에서 시작 및 종료 . 이러한 경로의 수는 입니다. 이 중 가 있습니다. 입니다. 다시 말해, 단계에서 SRW "브리지" 의 절대 값 ( 으로 끝나 도록 조정 됨)이 0을 가질 확률 은 입니다.초 6 $0$$s$$6$$0$${6 \choose 3} = 20$$2\times {4 \choose 2} = 12$$|s_2| = 0$$0$$2$$12/20 = 0.6$

둘째, 우리는 "소풍"조절을 고려할 것입니다. 으로 끝나는 길이 음이 아닌 단순 경로 수는 카탈로니아 어 숫자 입니다. 이 경로 중 정확히 는 입니다. 따라서, 단계 에서 SRW "소풍"(양으로 유지되고 끝나는 조건 )이 을 가질 확률 은 입니다.$s$$6 = 2*3$$0$$C_{m=3} = {2m\choose m}/(m+1) = 5$$2$$s_2 = 0$$0$$2$$2/5 = 0.4 < 0.6$

경우 당신은 여전히 당신은 SRW의 다리와 길이의 여행을위한 확률 고려할 수 제한이 현상이 지속 의심 단계에서 공을 치는 .$4n$$2n$

SRW 여행 : 위키 백과의 증상을 이용한 https://en.wikipedia.org/wiki / Catalan_number . 즉, 결국 와 같습니다 .

$$\mathbb{P}(S_{2n} = 0 | S_{j} \ge 0, j \le 4n, S_{4n} = 0) = C_n^2 / C_{2n} \sim (4^{2n}/\pi n^3)/(4^{2n} / \sqrt{(2n)^3 \pi})$$ $cn^{-3/2}$

abs (SRW 브리지) : wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient 의 점근 법을 사용합니다 . 이것은 .

$$\mathbb{P}(|S_{2n}| = 0 | S_{4n} = 0) = {2n \choose n}^2 / {4n \choose 2n} \sim (4^n/\sqrt{\pi n})^2/(4^{2n} / \sqrt{2n\pi})$$ $cn^{-1/2}$

다시 말해, SRW 브리지가 근처 에서 양의 으로 설정 될 수있는 점근 적 확률은 브리지 의 절대 값보다 훨씬 작습니다. $0$

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다음은 브라운 브리지 대신 3D 베셀 프로세스를 기반으로 한 대체 구성입니다. https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ejp/1457125524 에서 설명한 사실을 사용합니다.

개요-1) 3D Bessel 프로세스를 시뮬레이션합니다. 이것은 긍정적으로 조절 된 BM과 같습니다. 2) Bessel 3 브리지를 얻기 위해 적절한 시공간 크기 조정을 적용하십시오 (서류의 식 (2)). 3) Bessel 3 다리가 실제로 브라운 여행과 같은 분포를 가지고 있다는 사실을 (종이의 정리 1 바로 뒤에 표시) 사실을 사용하십시오.

약간의 단점은 공간 / 시간 스케일링이 끝날 때까지 비교적 미세한 그리드에서 Bessel 프로세스를 꽤 오랫동안 (T = 100 이하) 실행해야한다는 것입니다.

## Another construction of Brownian excursion via Bessel processes
set.seed(27092017)
## The Bessel process must run for a long time in order to construct a bridge
T <- 100
n <- 100001
d<-3 # dimension for Bessel process
dW <- matrix(ncol = n, nrow = d, data=rnorm(d*n)/sqrt(n/T))
dW[,1] <- 0
W <- apply(dW, 1, cumsum)
BessD <- apply(W,1,function(x) {sqrt(sum(x^2))})

times <- seq(0, T, length.out=n)
# plot(times,BessD, type="l") # Bessel D process


times01 <- times[times < 1]
rescaletimes <- pmin(times01/(1-times01),T)
# plot(times01,rescaletimes,type="l") # compare rescaled times

# create new time index
rescaletimeindex <- sapply(rescaletimes,function(x){max(which(times<=x))} )

BE <- (1 - times01) * BessD[rescaletimeindex]
plot(times01,BE, type="l")

출력은 다음과 같습니다.

원리는 반사 주장

Wiener 프로세스 의 경로가 시간 에서 값 에 도달하면 시간 이후의 후속 경로는 값 대한 후속 경로의 반사와 동일한 분포를 갖$f(t)$$f(s) = a$$t = s$$s$$a$

Wikipedia , 2017 년 9 월 26 일 액세스.

따라서 우리는 브라운 브리지를 시뮬레이션하고 단순히 절대 값을 취함으로써 값 에 대해 반영 할 수 있습니다. Brownian 브리지는 Brownian 모션 자체 에서 시작점 에서 끝 까지의 추세를 빼서 시뮬레이션 합니다. (일반성을 잃지 않고 우리는 을 만드는 단위로 시간을 측정 할 수 있습니다 . 따라서 시간 단순히 에서 를 빼십시오 .)$a=0$$(0,0)$$(T,B(T))$$B$$T=1$$t$$B(T)t$$B(t)$

동일한 절차를 적용하여 시간 에서 지정된 값으로 복귀 할 때 ( 브릿지의 경우 값은 임), 두 개의 한계 (필수 시작 값을 반드시 포함해야 함) 사이에도 브라운 운동 조건을 표시 할 수 있습니다. 의 번 ) 지정된 끝 값.$T\gt 0$$0$$0$$0$

이 브라운 운동은 0의 값으로 시작하고 끝납니다. 브라운 브리지입니다.

빨간색 그래프는 이전 브라운 브리지에서 개발 된 브라운 여행입니다. 모든 값은 음이 아닙니다. 파란색 그래프는 마주 칠 때마다 점선 사이에 브라운 브리지를 반영하여 동일한 방식으로 개발되었습니다. 회색 그래프는 원래 브라운 브리지를 표시합니다.

계산은 간단하고 빠릅니다. 시간 집합을 작은 간격으로 나누고, 각 간격에 대해 독립적으로 동일하게 분포 된 정규 증가분을 생성하고, 누적하고 추세를 빼고 필요한 반사를 수행합니다.

R코드 는 다음과 같습니다 . 여기에는 W원래 브라운 운동, B브라운 다리, 양수 (비 양수) 및 (음수가 아닌 ) B2사이의 제한이 있습니다. 모듈러스 연산자 및 성분 별 최소값을 사용하여 반사를 수행하는 기술 이 실질적으로 관심이있을 수있다.yminymax%%pmin

#
# Brownian bridge in n steps from t=0 to t=1.
#
n <- 1001
times <- seq(0, 1, length.out=n)
target <- 0                        # Constraint at time=1
set.seed(17)
dW <- rnorm(n)
W <- cumsum(dW)
B <- W + times * (target - W[n])   # The Brownian bridge from (0,0) to (1,target)
#
# The constrained excursion.
#
ymax <- max(abs(B))/5              # A nice limit for illustration
ymin <- -ymax * 2                  # Another nice limit
yrange2 <- 2*(ymax - ymin)
B2 <- (B - ymin) %% yrange2
B2 <- pmin(B2, yrange2-B2) + ymin

거부 방법을 사용할 수 있습니다. Brownian 교량을 시뮬레이션하고 긍정적 인 교량을 유지하십시오. 효과가있다.

그러나. 많은 샘플 궤적이 거부되므로 매우 느립니다. "주파수"가 클수록 궤도를 찾을 가능성이 줄어 듭니다.

succeeded <- FALSE
while(!succeeded)
{
  bridge <- rbridge(end = 1, frequency = 500)
  succeeded=all(bridge>=0)
}
plot(bridge)

부정적인 궤도를 유지하면서 속도를 높일 수 있습니다.

while(!succeeded)
{
  bridge <- rbridge(end = 1, frequency = 500)
  succeeded=all(bridge>=0)||all(bridge<=0)
}
bridge = abs(bridge)
plot(bridge)