"음 이항"랜덤 변수가 왜 그렇게 불리는가?

왜 "음 이항"랜덤 변수에 그 이름이 있는지 이해가되지 않습니다. 그것에 대해 부정적인 것은 무엇입니까? 이항이란 무엇입니까? 그것에 대해 음 이항은 무엇입니까?

해당 분포에 대한 공식에 나타나는 특정 이항 계수를 음수로 더 간단하게 작성할 수 있다는 사실에 대한 참조입니다.

성공 확률 로 일련의 실험을 수행 할 때 정확히 k 번의 시도 후에 r 실패 $p$가 나타날 가능성은 다음과 같습니다.$r$$k$

pk(1-p)${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$ .

이것은 또한 다음과 같이 쓸 수 있습니다

( − $(−1)^k$pk(1-p)${−r}\choose {k}$$p^k(1−p)^r$

"음수"라는 단어 는 이항 계수에서 을 나타냅니다 . 이 공식이 부호 계수를 제외하고 정규 이항 분포 공식과 어떻게 다른지 관찰하십시오.$−r$

음 이항 분포의 또 다른 이름은 파스칼 분포입니다.

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Wikipedia에 따른 자세한 답변 :

음 이항 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

여기에서 괄호 안의 수량은 이항 계수이며,

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$ 입니다.

이 수량은 "음 이항"이라는 이름을 설명하면서 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$ 입니다.

StatsExchange의 Denizens, 첫째, 좋은 소식입니다.이 저자는 Wikipedia 공식을 복사하여 모든 것이 잘 갖추어져 있습니다. 이 작성자가 작성한 설명이 잘못되었습니다. 그는 k + r 추적 후 r 실패가 발생할 확률을 기록 했어야합니다.
첫 번째 k + r-1 시도에서는 정확히 r-1 실패와 k 성공이 있습니다. 따라서 공식에는 (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1)이 올바르게 포함됩니다.
그런 다음 정의에 따라 최종 시도, 즉 k + r 번째 시도는 r 번째 실패 여야합니다. 이 사건은 독립적이므로 명시된 확률을 찾기 위해 확률 1-p를 곱하면됩니다.