시퀀스 감소 증명 (많은 pt를 플로팅하여 지원)

지난 달에 SE에 게시 한 많은 질문은이 특정 문제를 해결하는 데 도움이되는 목표였습니다. 모든 질문에 대답했지만 여전히 해결책을 찾지 못했습니다. 그래서 직접 해결하려고하는 문제를 물어봐야한다고 생각했습니다.

하자 . 여기서 , , (정수)이며 모든 은 .$X_n \sim F_n$$F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$$F_0 = x$$c\geq 2$$F_n$$(0,1)$

이 모든 (또는 특정 )에 대해 으로 감소 한다는 것을 증명하고 싶습니다 ! I는 표시 할 수 의 고유 한 용액에서 디락 질량 수렴 를 들면 , . 동일한 대해 을 증가시키기위한 cdfs 플롯을 볼 때 모든 cdfs는 에서 교차 합니다. 값 값에 대해 감소 미만 의 값이 증가하고 보다 큰$\mathbb{E}X_n$$n$$c$$c$$F_n$$x_c = (1-(1-x)^c)^c)$$c=2$$x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$$n$$c$$x_n$$F(x)$$x$$x_n$$x$$x_n$( 증가함에 따라) 에서 수직선으로 수렴합니다 .$n$$x_n$

아래는 ~ 대해 ~ 대해 의 플롯입니다 . 물론 이산 플롯이지만, 쉽게 볼 수 있도록 선을 결합했습니다. 이 플롯을 생성하기 위해 Mathematica에서 NIntegrate를 사용했지만 에서 수행해야했지만 어떤 이유로 Mathematica 는 원래 함수에 대해 높은 값에 대한 응답을 생성 할 수 없었습니다 . 영 정리에 따라 와 같이 두 개가 동일해야합니다 . 제 경우에는 , 입니다.$\mathbb{E}X_n$$n = 1$$40$$c = 2$$7$$1-F^{-1}_n$$n$$\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$$F^{-1}_n = x$

보다시피 은 고정 점 에서 1 분 거리로 매우 빠르게 움직 입니다. 마찬가지로 증가, 고정 소수점 감소는 (결국 0으로 이동한다).$EX_n$$x_c$$c$

따라서 모든 대해 이 으로 감소 한다는 것은 사실입니다 . 그러나 나는 그것을 증명할 수 없다. 누구든지 나를 도울 수 있습니까? (다시 말해서, 나는 단지 하나의 조차도 다소 행복 할 것입니다. ) 그리고 당신이 할 수 없다면, 왜이 특정 문제가 해결 불가능할 수 있는지에 대한 통찰력이 있다면, 그 통찰력도 함께 나누십시오. $EX_n$$n$$c$$c$

이 피에트로 마예에 의해 MO에 대한 답이 여기에 .