이 추정기의 분산은 무엇입니까

함수 f의 평균, 즉 의 평균을 추정하고 싶습니다 여기서 와 는 독립적 인 랜덤 변수입니다. 나는 F의 샘플을 가지고 있지만 IID하지 : 대한 IID 샘플이 있습니다 하고 각 있다 에서 샘플 :

E_{X, Y} [f (X, Y)]

$E_{X,Y}[f(X,Y)]$

X

$X$

Y

$Y$

Y_{1}, Y_{2}, \dots Y_{n}

$Y_1,Y_2,\dots Y_n$

Y_{i}

$Y_i$

n_{i}

$n_i$

X

$X$

X_{i, 1}, X_{i, 2}, \dots, X_{i, n_{i}}

$X_{i,1},X_{i,2},\dots, X_{i,n_i}$

총 샘플 $f(X_{1,1},Y_1) \dots f(X_{1,n_1},Y_1 ) \dots f(X_{i,j},Y_i) \dots f(X_{n,n_n},Y_n)$

평균을 계산하려면 분명히 그래서 공평 추정기이다. 무엇인지 , 즉 추정기의 분산이 궁금 합니다.

μ = \sum_{i = 1}^{n} 1 / n * \sum_{j = 1}^{n_{i}} \frac{f (X_{i, j}, Y_{i})}{n_{i}}

$\mu=\sum_{i=1}^n 1/n * \sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$

E_{X, Y} [μ] = E_{X, Y} [f (X, Y)]

$E_{X,Y}[\mu]=E_{X,Y}[f(X,Y)]$

μ

$\mu$

V a r (μ)

$Var(\mu)$

편집 2 : 이것이 올바른 분산입니까? It 한계에서 작동하는 것처럼 보입니다. 즉, n = 1이고 모든 이면 분산은 평균의 분산이됩니다. 그리고 이면 공식은 추정값 분산의 표준 공식이됩니다. 이 올바른지? 그것이 어떻게 증명 될 수 있습니까?

V a r (μ) = \frac{V a r_{Y} (μ_{i})}{n} + \sum_{i = 1}^{n} \frac{V a r_{X} (f (X, Y_{i})))}{n_{i} * n^{2}}

$Var(\mu)=\frac{Var_Y(\mu_i)}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{Var_X(f(X,Y_i)))}{n_i*n^2}$

n_{i} = \infty

$n_i=\infty$

n_{i} = 1

$n_i=1$

편집 (무시) :

그래서 나는 약간의 진전을 이루었다 고 생각합니다 : 먼저 를 정의하겠습니다. . $\mu_i=\sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$ $E_X[f(X,Y_i)]$

분산에 대한 표준 공식을 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

V a r (μ) = 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} C o v (μ_{l}, μ_{k})

$Var(\mu)=1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=1}^n Cov(\mu_l,\mu_k)$ 이것은 및 는 독립적으로 그려 지기 때문에 이것을 더 단순화 할 수 있습니다 공분산의 경우 :

1 / n^{2} (\sum_{i = 1}^{n} V a r (μ_{l}) + 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = l + 1}^{n} 2 * C o v (μ_{l}, μ_{k}))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n Var(\mu_l)+ 1/n^2\sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$

X_{i j}

$X_{ij}$

1 / n^{2} (\sum_{i = 1}^{n} 1 / n_{i} V a r (f (X_{i, j}, Y_{i})) + 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = l + 1}^{n} 2 * C o v (μ_{l}, μ_{k}))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X_{i,j},Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$

\begin{aligned} C o v (μ_{l}, μ_{k}) & = C o v (\sum_{j = 1}^{n_{l}} \frac{f (X_{j, l}, Y_{l})}{n_{l}}, \sum_{j = 1}^{n_{k}} \frac{f (X_{j, k}, Y_{k})}{n_{k}}) \\ = \frac{1}{(n_{k} * n_{l})} * C o v (\sum_{j = 1}^{n_{l}} f (X_{j, l}, Y_{l}), \sum_{j = 1}^{n_{k}} f (X_{j, k}, Y_{k})) \\ = \frac{1}{(n_{k} * n_{l})} * \sum_{j = 1}^{n_{l}} \sum_{j = 1}^{n_{k}} C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{k})) \\ = \frac{n_{k} * n_{l}}{(n_{k} * n_{l})} C o v (f (X_{i, l}, Y_{l}), f (X_{i, k}, Y_{k})) \\ = C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{k})) \end{aligned}

$\begin{align} Cov(\mu_l,\mu_k)&=Cov(\sum_{j=1}^{n_l} \frac{f(X_{j,l},Y_l)}{n_{l}},\sum_{j=1}^{n_k} \frac{f(X_{j,k},Y_k)}{n_{k}})\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*Cov(\sum_{j=1}^{n_l} f(X_{j,l},Y_l),\sum_{j=1}^{n_k} f(X_{j,k},Y_k))\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*\sum_{j=1}^{n_l}\sum_{j=1}^{n_k}Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k))\\ &=\frac{n_k*n_l}{(n_k*n_l)}Cov( f(X_{i,l},Y_l), f(X_{i,k},Y_k))\\ &=Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k)) \end{align}$ 다시 연결하면 지금 여러 질문이 있습니다.

1 / n^{2} (\sum_{i = 1}^{n} 1 / n_{i} V a r (f (X, Y_{i})) + 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = l + 1}^{n} 2 * C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{k})))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X,Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$

위의 계산이 정확합니까?
주어진 표본에서 를 어떻게 추정 할 수 있습니까? $Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$
n을 무한대로 가면 분산이 0으로 수렴합니까?

variance unbiased-estimator estimators

— 베네딕트 z 즈
소스

Q1 : 아니요,별로 아닙니다. 공분산의 최종 도출에서 3 번째 줄에있는 첨자를 생략합니다. "X"로 표시된 두 개의 RV가 실제로 서로 독립적이라는 사실을 모호하게합니다. 하나는 첨자를 갖고 있고 다른 하나는 입니다. 전체 항등 블록 에서 독립 입력의 함수는 독립적이므로 일 때 0이 아닌 항만 있어야합니다 . (나는 당신이 이 독립적 이라고 말하면 괜찮다고 가정합니다 는 모든 와 사이의 페어 별 독립 주장에서 엄격하게 말하지는 않지만 는 독립적입니다 .) $\ell$ $k$ $k=\ell$ $X_{12}, Y_1$ $X_{22}, Y_2$ $X$ $Y$

Q2 : 위에서부터 일 때만 해당 항은 0이 ,이 경우 . 합 이후의 결과는 입니다. $k=\ell$ $Cov(f(X_{jk}, Y_k), f(X_{jk}, Y_k)) = Var(f(X_{jk}, Y_k))$ $Cov(\mu_k, \mu_k) = \frac{1}{n_k} Var(f(X_{jk}, Y_k))$

Q3 : 예 : 이러한 수정 후에는 마지막 합계에 선형 개수의 항만 포함되므로 분모의 2 차 항이 이깁니다.

— eric_kernfeld
소스

"n이 무한대로 가면 분산이 0으로 수렴됩니까?" "예"입니다.

— eric_kernfeld