n 개의 균일하게 분포 된 r.v가 주어진 경우, 하나의 rv에 대한 PDF를 모든 n r.v의 합으로 나눈 값은 무엇입니까?

10

다음과 같은 유형의 사례에 관심이 있습니다. 'n'연속 랜덤 변수는 1이어야합니다. 그런 다음 개별 변수 하나에 대한 PDF는 무엇입니까? 따라서 이면 의 분포에 관심이 있습니다. 여기서 및 은 모두 균일하게 분포됩니다. 물론이 예제 에서 평균 은 이며 평균은 이므로 R의 분포를 시뮬레이션하기는 쉽지만 PDF 또는 CDF의 실제 방정식이 무엇인지 알 수 없습니다. $n=3$ $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ $X_1, X_2$ $X_3$ $1/3$ $1/n$

이 상황은 Irwin-Hall 배포판 ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ) 과 관련이 있습니다 . Irwin-Hall 만 n 개의 균일 랜덤 변수의 합의 분포이며, n 균일 rv 중 하나에 대한 분포를 모든 n 변수의 합으로 나눕니다. 감사.

uniform

— 사용자 3593717
소스

1

만약 연속 균일 확률 변수의 합이 , 다음으로 , 및 분포하므로 분포와 동일 , ?

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$

X_{1}

$X_1$

— Dilip Sarwate

1

나는 스스로 수정해야합니다 : N 균일 분포는 1의 합계가 아닙니다. 나는 각각 0과 1 사이의 균일 한 것으로 가정하고 따라서 그 합계는 0에서 N 사이 일 수 있습니다. 각 균일 변수를 취하고 나누는 것을 생각하고 있습니다. 모든 N 균일 변수의 합으로 1을 합산하고 1 / N의 예상 값을 갖는 N 개의 랜덤 변수 세트를 얻는다. 참고 : 첫 번째 문장에서 'uniform'이라는 단어를 제거했습니다. 내가 찾고있는 분포는 균일하지 않지만 N 균일 변수 중 하나를 모든 N 균일 변수의 합으로 나눕니다. 잘 모르겠습니다.

— user3593717

를 Where 지수 분포 정규화 변수 벡터는 디리클레 분포를 갖는다. 이것은 그 자체로 흥미로울 수 있지만, 이러한 유형의 상황에 대한 전술을 제공 할 수도 있습니다.

X_{i}

$X_i$

— 추측

4

도메인의 중단 점이 다소 지저분합니다. 간단하지만 지루한 접근 방식은 최종 결과를 얻는 것입니다. 를 들어 있도록 및 이어서 $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

중단 점은 1로되어 1, 2 2 및 3 및 및 에 대해 I가되도록 전체 PDF 발견 $Y,$ $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

f (z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

cdf는

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 z^{2} - 9 z + 1}{6 z^{2} (1 - z)}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 z - 1}{6 z^{2}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— 소 클리
소스

+1 니스 또한 밀도 는 시뮬레이션과 아름답게 일치합니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

2

이라고합시다 . 를 계산 하여 의 cdf를 찾을 수 있습니다. 그런 다음 Irwin-Hall pdf를 차별화하고 대체하여 원하는 pdf를 얻습니다. $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$

\begin{aligned} P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq t) & = P (X_{1} \leq t \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = P ((1 - t) X_{1} \leq t \sum_{i = 2}^{n} X_{i}) \\ = P (X_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) \\ = \int_{0}^{1} P (x_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1})) d x_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) (\frac{1 - t}{t} x_{1} - k)^{n - 1} x_{1} d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$ 여기에서 조금 지저분 적분과 합산을 교환 한 다음 대체 (예 : )를 수행하여 적분을 평가하여 적분을 얻을 수 있어야합니다. pdf에 대한 명시 적 공식.

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— 브렌트 커비
소스

1

가정

"N 균일 분포는 1에 합산되지 않습니다."

이것이 내가 시작한 방법입니다 (불완전합니다).

고려 및하자 표기에 약간의 남용. $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$

고려, 와 : $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

그런 다음 변수 변환 후 :

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

의 합동 확률 함수 는 다음과 같습니다. $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

여기서 및 $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

그리고

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} s i g n (x - k)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

따라서

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

및 $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— 권리
소스

0

합계에 Irwin-Hall 분포가 있다는 것을 이미 알고 있다고 가정하십시오 . 이제 X에 분포가 있고 에 Irwin-Hall 분포가 있을 때 의 pdf (또는 CDF)를 찾기 위해 질문이 변경됩니다 . $U(0,1)$ $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

먼저 와 의 공동 PDF를 찾아야 합니다. $X$ $Y$

하자 $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

그때

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

이후 함께 IID되는 따라서, $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

의 합동 분포 는 $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

다음으로 통합하면 과 의 공동 분포, 즉 과 의 공동 분포를 얻을 수 있습니다. $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

whuber가 제안한대로 이제 한계를 변경했습니다.

\begin{matrix} (1) & h (y_{1}, y_{3}) = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) d y_{2} = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} 1 d y_{2} = y_{3} - y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

이제 우리는 공동 pdf 즉 공동 pdf 및 공동 pdf 가 있습니다. $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

다음으로 의 pdf를 찾으십시오. $\frac{X}{Y}$

또 다른 변형이 필요합니다.

보자 $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

그런 다음 $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

그때

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

우리는 이미 위의 단계 ref (1) 에서 의 공동 분포입니다 . $X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

다음으로 을 통합하여 의 PDF를 다음 의 PDF를 얻습니다. $y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & h_{2} (y_{2}) = \int_{0}^{1} (y_{3} - y_{1} - 2) \frac{y_{1}}{y_{2}^{2}} d y_{1} = \frac{1}{y_{2}^{2}} (\frac{y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

이것은 의 PDF입니다. 즉 $X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

아직 끝나지 않았습니다. 그러면 (2) 에서 은 무엇 입니까? $y_3$

우리 는 첫 번째 변환에서 을 알고 있습니다. $Y_3=X_1+X_2+X_3$

적어도 에는 Irwin-Hall 배포판이 있습니다. $Y_3$

내가 궁금해 우리는 연결할 수 어윈 - 홀을 위한 에 PDF (2) 명시적인 공식을 얻을? 아니면 글렌이 제안한대로 여기에서 시뮬레이션을 할 수 있습니까? $n=3$

— 딥 노스
소스

2

시뮬레이션은 해당 PDF에 동의하지 않는 것 같습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

논리와 단계는 정확 해 보이지만이 솔루션에 대해 불편 함을 느낍니다.

— Deep North

2

를 통합 한 경우 및 조건을 고려해야합니다 .

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$

— whuber