p- 값의 두 가지 정의 : 동등성을 증명하는 방법?

Larry Wasserman의 저서 인 All of Statistics 를 읽고 현재 p- 값에 대해 읽고 있습니다 (187 페이지). 먼저 몇 가지 정의를 소개하겠습니다 (견적).

$R$
$β (θ) = P_{θ} (X \in R)$ $\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$ $α = sup_{θ \in Θ_{0}} β (θ)$ $\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$ $\alpha$ $\alpha$

이것은 기본적으로 라고 말합니다 . 크기는 I 형 오류의 "가장 큰"확률입니다. 값은 (I 인용)을 통해 정의됩니다. $\alpha$ $p$

정의 2 모든 대해 거부 영역 대한 크기 테스트가 있다고 가정합니다 . 그런 다음 여기서 입니다. $\alpha\in(0,1)$ $\alpha$ $R_\alpha$
$p -value = inf {α : T (X^{n}) \in R_{α}}$ $p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$ $X^n=(X_1,\dots,X_n)$

나를 위해 이것은 의미합니다 : 특정 가 주어지면 테스트 및 거부 영역 있으므로 . 를 들어 단순히 모든 이들의 작은 걸릴 - 값 . $\alpha$ $R_\alpha$ $\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$ $p$ $\alpha$

질문 1이 경우라면 임의로 작은 대해 을 명확하게 선택할 수 있습니다 . 정의 2에 대한 나의 잘못된 해석은 무엇입니까, 즉 정확히 무엇을 의미합니까? $\alpha = \epsilon$ $\epsilon$

이제 Wasserman은 연속적이고 값에 대한 "동등한"정의를 가지고있는 정리를 말합니다 . $p$

정리 검정 의 크기 가 하면 여기서 은 의 관측 값입니다 . $\alpha$
$reject H_{0} ⟺ T (X^{n}) \geq c_{α}$ $\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$ $p -value = sup_{θ \in Θ_{0}} P_{θ} (T (X^{n}) \geq T (x^{n}))$ $p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$ $x^n$ $X^n$

두 번째 질문은 다음과 같습니다.

질문 2 이 정리를 실제로 어떻게 증명할 수 있습니까? 어쩌면 값 의 정의에 대한 오해 때문일 수도 있지만 이해할 수는 없습니다. $p$

hypothesis-testing mathematical-statistics p-value

— 수학
소스

그것은 긍정적이다 이상한 Wasserman 정의 것이라고 힘 "으로 상징하기 때문에," 거의 보편적으로 (즉, 전력 = 1 유형 II 오류율에 사용되는 거의 모든 다른 저자의 논의 전력). 고의로 혼란을 야기시키는 것을 제외하고는 더 나쁜 혼란을 야기 할 수있는 표기법의 선택을 상상하기 어렵다.

β

$\beta$

β

$\beta$

β

$\beta$

— Glen_b-복지 주 모니카

나는 그것이 이상하다는 것에 동의합니다. 그러나, Casella와 Berger도 같은 일을한다고 생각합니다.

— 매트 Brems

답변:

우리는 분포 에서 알 수없는 매개 변수 얻은 다변량 데이터 있습니다. 참고 샘플 결과입니다. $x$ $\mathcal{D}$ $\theta$ $x$

우리는 알려지지 않은 매개 변수 에 대한 가설을 테스트하려고 합니다. 귀무 가설 아래 의 값은 세트에 있습니다. $\theta$ $\theta$ $\theta_0$

의 공간 내에 , 우리는 제거 영역을 정의 할 수 하고, 이 영역의 전원 다음과 같이 정의된다 . 전원이되도록 계산되는 특정 값 의 확률로 샘플 결과 것을 거부 영역에 때의 값 IS . 분명히 권력은 지역 과 선택한 에 달려 있습니다. $X$ $R$ $R$ $\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$ $\bar{\theta}$ $\theta$ $x$ $R$ $\theta$ $\bar{\theta}$ $R$ $\bar{\theta}$

정의 1은 영역 $R$ 의 크기를 에 대한 의 모든 값의 값으로 정의 하므로 아래 . 분명히 이것은 지역에 따라 다르므로 입니다. $\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$ $\bar{\theta}$ $\theta_0$ $\bar{\theta}$ $H_0$ $\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

마찬가지로 에 따라 우리는 다른 값 영역 변경이 있고, 이것은 P 값 정의하기위한 기초이다 : 샘플 관측 값이 아직 들어, 영역에 속하는 것으로 변화 영역이 있지만, 이러한 방법으로 각각의 그러한 영역은 계산 앞에서 정의한 바와 같이 상기 상하 한 취 . 따라서 p- 값은 가 포함 된 모든 영역에서 가장 작은 크기입니다 . $\alpha^R$ $R$ $\alpha_R$ $pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$ $x$

그러면 정리는 단지 '번역'입니다. 즉, 영역 이 통계 사용하여 정의 되고 값 대해 영역 을 . 위의 추론에서 이러한 유형의 영역 을 사용 하면 정리가 따릅니다. $R$ $T$ $c$ $R$ $R=\{ x | T(x) \ge c \}$ $R$

주석 때문에 편집 :

@ user8 : 정리를 위해; 만약 크기 후 거부 정리 영역에서와 같이 거절 영역을 정의하면 세트는처럼 보이는일부 입니다 . $\alpha$ $R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$ $c_\alpha$

관측 값의 p- 값 찾으려면 , 즉 가장 작은 지역 찾아야 , 즉 가장 큰 값 등이 여전히 포함 하고, 후자는 (영역이 포함 ) 가 정의 된 방식 때문에) 라고 말하는 것과 동일 하므로 가장 큰 그러한 $x$ $pv(x)$ $R$ $c$ $\{X | T(X) \ge c \}$ $x$ $x$ $c \ge T(x)$ $c$ $\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

물론, 가장 큰 있도록 있어야한다 다음 세트 위에이된다 $c$ $c \ge T(x)$ $c = T(x)$ $\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

답변 주셔서 감사합니다. 정리의 타당성에 대한 질문 : 어떻게 든 이상의 가 없습니까?

inf

$\inf$

α

$\alpha$

— math

@ user8 : 내 대답 끝에 단락을 추가했습니다. 이제 불충분 한 점이 보입니까?

정의 2에서 검정 통계량 의 값은 모든 의 가장 큰 하한값 이므로 가설은 크기의 검정에 대해 기각됩니다 . 리콜는 것을 작은 우리가 만드는 따라서, 우리가 허용되는 유형 I 오류에 대해 덜 허용, 거부 지역 도 감소합니다. 따라서 (매우) 비공식적으로 말하면, 값은 관찰 한 데이터에 대해 을 기각 할 수 있는 가장 작은 입니다. 어느 시점에서 때문에 더 작은 임의로 선택할 수 없습니다. $p$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $R_\alpha$ $p$ $\alpha$ $H_0$ $\alpha$ $R_\alpha$ 너무 작아서 관찰 한 이벤트를 제외 (즉, 포함하지 않음)합니다.

이제 위의 관점에서 정리를 다시 생각해 보도록하겠습니다.

— heropup
소스

나는 아직도 약간 혼란 스럽다. 먼저, 정의 에서 통계량 는 모든 ? "... 언젠가 는 너무 작아서 관찰 한 이벤트를 제외 (즉, 포함하지 못함) 할 것입니다." 경우 완벽하게 정상적으로, 가 관찰 된 샘플을 포함 나던 너무 작아서, 우리는 그나마 거부 . 이것의 문제점은 무엇입니까? 도움 / 인내 주셔서 감사합니다

2

$2$

T

$T$

α

$\alpha$

R_{α}

$R_\alpha$

R_{α}

$R_\alpha$

H_{0}

$H_0$

— 수학

예. 검정 통계량 는 샘플의 미리 결정된 고정 함수이며,이 의미에서 "고정"은 함수의 형태가 대해 변하지 않음을 의미합니다 . 그것이받는 값은 샘플에 따라 달라질 수 있습니다. 귀하의 문 "우리는 거부하지 귀하의 의견이 잘못된 이유"밝혀 : 정의 , 되는 검정 통계량의 모든 값의 세트 구성 리드 널의 거부로를 . 즉, 레이블이 왜의 "R"배출 --for. 자세한 내용을 설명하기 위해 답변에 업데이트를 게시합니다.

T

$T$

α

$\alpha$

H_{0}

$H_0$

R_{α}

$R_\alpha$

R

$R$

— heropup

빠른 답변과 업데이트 된 버전에 미리 감사드립니다. 내가 의미하는 바는 다음과 같습니다. 우리는 이면 기각합니다 . 여기서 은 관측 된 샘플입니다. 내가 매우 극단적이라고 말하고 매우 작게 선택 하면 주어진 샘플 대해 거부하지 않습니다 . 따라서 작은 는 나쁜 것이 아닙니다. 분명히 한 시점에서 너무 작아서 속하는 샘플을 관찰하는 것은 매우 드 very니다 . 다시 한 번 양해 해 주셔서 감사합니다. 정말 감사합니다!

H_{0}

$H_0$

T (x_{n}) \in R_{α}

$T(x_n)\in R_\alpha$

x_{n}

$x_n$

R_{α}

$R_\alpha$

T (x_{n}) \notin R_{α}

$T(x_n)\notin R_\alpha$

H_{0}

$H_0$

R_{α}

$R_\alpha$

R_{α}

$R_\alpha$

— math

주어진 p- 값 정의는 표본에 대한 검정 통계량이 명시 적으로 거부 영역에 있어야합니다 . p- 값 정의의 해당 부분을 자유롭게 변경할 수 없습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

@Glen_b 댓글 주셔서 감사합니다. 실제로, 나의 이전 의견은 그 정의를 위반합니다. 지적 해 주셔서 감사합니다.

— math