다양한 다면체 주사위의 분포는 한 번에 무엇입니까?

던전 앤 드래곤 주사위 세트에서 5 개의 플라톤 고체를 가져 가십시오. 이들은 4면, 6면 (기존), 8면, 12면 및 20면 주사위로 구성됩니다. 모두 1에서 시작하여 총계에서 1까지 증가합니다.

한 번에 모두 굴려서 합계를 가져옵니다 (최소 합계는 5, 최대는 50입니다). 여러 번 그렇게하십시오. 분포는 무엇입니까?

분명히 그것들은 더 높은 숫자보다 더 낮은 숫자가 있기 때문에 저가로 향하는 경향이 있습니다. 그러나 개별 다이의 각 경계에 눈에 띄는 변곡점이 있습니까?

[편집 : 분명히 분명해 보이는 것은 그렇지 않습니다. 해설자 중 하나에 따르면 평균은 (5 + 50) /2=27.5입니다. 나는 이것을 기대하지 않았다. 그래도 그래프를보고 싶습니다.] [Edit2 : n 개의 주사위 분포가 각 주사위와 개별적으로 합쳐져 동일하다는 것을 알 수 있습니다.]

대수적으로하고 싶지는 않지만 pmf를 간단히 계산할 수 있습니다 ( 스프레드 시트에서 실제로 컨볼 루션 일뿐입니다 ).

스프레드 시트 *에서이를 계산했습니다.

i        n(i)   100 p(i)
5         1     0.0022
6         5     0.0109
7        15     0.0326
8        35     0.0760
9        69     0.1497
10      121     0.2626
11      194     0.4210
12      290     0.6293
13      409     0.8876
14      549     1.1914
15      707     1.5343
16      879     1.9076
17     1060     2.3003
18     1244     2.6997
19     1425     3.0924
20     1597     3.4657
21     1755     3.8086
22     1895     4.1124
23     2014     4.3707
24     2110     4.5790
25     2182     4.7352
26     2230     4.8394
27     2254     4.8915
28     2254     4.8915
29     2230     4.8394
30     2182     4.7352
31     2110     4.5790
32     2014     4.3707
33     1895     4.1124
34     1755     3.8086
35     1597     3.4657
36     1425     3.0924
37     1244     2.6997
38     1060     2.3003
39      879     1.9076
40      707     1.5343
41      549     1.1914
42      409     0.8876
43      290     0.6293
44      194     0.4210
45      121     0.2626
46       69     0.1497
47       35     0.0760
48       15     0.0326
49        5     0.0109
50        1     0.0022

여기서 은 각각의 총 i 를 얻는 방법의 수입니다 . p ( i ) 는 확률이며, 여기서 p ( i ) = n ( i ) / 46080 입니다. 가장 가능성이 높은 결과는 시간의 5 % 미만입니다.$n(i)$$i$$p(i)$$p(i) = n(i)/46080$

y 축은 확률로 백분율로 표시됩니다.

* 내가 사용한 방법은 여기 에 설명 된 절차와 비슷 하지만 사용자 인터페이스 세부 사항이 변경 될 때 해당 설정을 수행하는 정확한 메커니즘이 변경됩니다 (이 게시물은 약 1 년 전에 업데이트되었지만 지금은 5 세 정도입니다). 그리고 이번에는 다른 패키지를 사용했습니다 (이번에는 LibreOffice의 Calc에서했습니다). 아직도, 그것은 그것의 요지입니다.

그래서 나는이 코드를 만들었다 :

d4 <- 1:4  #the faces on a d4
d6 <- 1:6  #the faces on a d6
d8 <- 1:8  #the faces on a d8
d10 <- 1:10 #the faces on a d10 (not used)
d12 <- 1:12 #the faces on a d12
d20 <- 1:20 #the faces on a d20

N <- 2000000  #run it 2 million times
mysum <- numeric(length = N)

for (i in 1:N){
     mysum[i] <- sample(d4,1)+
                 sample(d6,1)+
                 sample(d8,1)+
                 sample(d12,1)+
                 sample(d20,1)
}

#make the plot
hist(mysum,breaks = 1000,freq = FALSE,ylim=c(0,1))
grid()

결과는이 줄거리입니다.

꽤 가우시안입니다. 우리는 (중간) 중심 한계 정리의 변형을 보여 주었다고 생각합니다.

직감에 약간의 도움 :

먼저, 하나의 다이의 모든면에 하나를 추가하면 어떻게되는지 고려하십시오 (예 : d4). 따라서 1,2,3,4 대신 얼굴에 2,3,4,5가 표시됩니다.

이 상황을 원본과 비교하면 총합이 이전보다 1 배 높다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이것은 분포 의 형태 가 변하지 않고 단지 한 단계 씩 측면으로 이동 한다는 것을 의미합니다 .

이제 각 다이의 모든면에서 각 다이의 평균값을 뺍니다 .

이 주사위 표시

• $-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$
• $-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$
• $-{7\over 2}$$-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$${7\over 2}$

기타

이제이 주사위들의 합은 여전히 ​​원래 모양과 같아야하며 아래쪽으로 만 이동해야합니다. 이 합은 0에 대해 대칭이라는 것이 분명해야합니다. 따라서 원래 분포도 대칭입니다.

> p  <-  q  <-  c(0, rep(1/6,6))
> pq  <-  convolve(p,rev(q),type="open")
> zapsmall(pq)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111
 [7] 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111 0.08333333 0.05555556
[13] 0.02777778

(수동 계산으로) 올바른지 확인할 수 있습니다. 이제 진짜 질문으로 4,6,8,12,20면을 가진 다섯 개의 주사위가 있습니다. 각 주사위에 대해 균일 한 프로브를 가정하여 계산을 수행합니다. 그때:

> p1  <-  c(0,rep(1/4,4))
> p2 <-  c(0,rep(1/6,6))
> p3 <-  c(0,rep(1/8,8))
> p4  <-  c(0, rep(1/12,12))
> p5  <-  c(0, rep(1/20,20))
> s2  <-  convolve(p1,rev(p2),type="open")
> s3 <-  convolve(s2,rev(p3),type="open")
> s4 <-  convolve(s3,rev(p4),type="open")
> s5 <- convolve(s4, rev(p5), type="open")
> sum(s5)
[1] 1
> zapsmall(s5)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00002170
 [7] 0.00010851 0.00032552 0.00075955 0.00149740 0.00262587 0.00421007
[13] 0.00629340 0.00887587 0.01191406 0.01534288 0.01907552 0.02300347
[19] 0.02699653 0.03092448 0.03465712 0.03808594 0.04112413 0.04370660
[25] 0.04578993 0.04735243 0.04839410 0.04891493 0.04891493 0.04839410
[31] 0.04735243 0.04578993 0.04370660 0.04112413 0.03808594 0.03465712
[37] 0.03092448 0.02699653 0.02300347 0.01907552 0.01534288 0.01191406
[43] 0.00887587 0.00629340 0.00421007 0.00262587 0.00149740 0.00075955
[49] 0.00032552 0.00010851 0.00002170
> plot(0:50,zapsmall(s5))

줄거리는 아래와 같습니다 :

이제이 정확한 솔루션을 시뮬레이션과 비교할 수 있습니다.

중심 극한 정리는 귀하의 질문에 대답을 제공합니다. 세부 사항과 그 증거 (및 Wikipedia 기사)는 다소 구부러져 있지만 그 요지는 간단합니다. Wikipedia에 따르면

유한 분산을 갖는 다수의 독립적이고 동일하게 분포 된 랜덤 변수의 합은 변수의 수가 증가함에 따라 정규 분포를 따르는 경향이 있습니다.

귀하의 사례에 대한 증거 스케치 :

“한 번에 모든 주사위를 굴려 라”라고 말할 때, 모든 주사위의 각 롤은 무작위 변수입니다.

주사위에는 유한 번호가 인쇄되어 있습니다. 따라서 값의 합에는 유한 분산이 있습니다.

모든 주사위를 굴릴 때마다 결과의 확률 분포는 동일합니다. 주사위는 롤간에 바뀌지 않습니다.

주사위를 공정하게 굴리면 굴릴 때마다 결과는 독립적입니다. (이전 롤은 향후 롤에 영향을 미치지 않습니다.)

독립적 인? 검사. 동일하게 분배 되었습니까? 검사. 유한 분산? 검사. 따라서 합은 정규 분포를 향하는 경향이 있습니다.

모든 주사위의 한 롤에 대한 분포가 로우 엔드쪽으로 기울어 져 있는지는 중요하지 않습니다. 그 분포에 교두가 있는지는 중요하지 않습니다. 모든 합산은 그것을 부드럽게하고 대칭 가우시안으로 만듭니다. 그것을 보여주기 위해 대수 또는 시뮬레이션을 할 필요조차 없습니다! 이것이 CLT의 놀라운 통찰력입니다.