계산하는 방법

논문의 문제를 해결하려고하는데 어떻게해야하는지 모르겠습니다. 균일 한 분포 에서 무작위로 얻은 4 개의 관측치가 있습니다 . 확률을 계산하고 싶습니다 . 는 i 번째 주문 통계입니다 (주문 통계가 가장 작은 것부터 가장 큰 것까지 순서 통계를 취합니다). 나는 더 간단한 경우를 위해 그것을 해결했지만 여기서는 그것을하는 방법에 빠져 있습니다.$(0,1)$$3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$$X_{(i)}$

모든 도움을 환영합니다.

주문 통계를 다음과 같이 작성하십시오. $(x_1,x_2,x_3,x_4)$, $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$. 그것을 주목하여 시작$x_1 \le x_2$ 암시

$$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$$

이 마지막 이벤트는 $x_2$ 과 $(x_2+x_3)/2$ 더 크다 :

$$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$$

관절 분포가 세트에서 균일 하기 때문에$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$밀도로 $4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$,

$$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$$

과

$$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$$

(각 적분은 반복 적분으로 수행하기가 간단하며 다항식 적분 만 포함됩니다.)

따라서 원하는 확률은 $1 - (1/4 + 7/12)$ = $1/6$.

편집하다

작업을 단순화하는 영리한 솔루션은 $y_j$ iid 지수 분포가 있고 $1\le j\le n+1$그런 다음 (쓰기 $y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\ $), 스케일 된 부분 합

$$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$$

$1\le i\le n$, 균일 주문 통계처럼 배포됩니다. 때문에$Y$그것을 위해 쉽게 그 다음, 거의 확실히 긍정적 어떤 $n\ge 3$,

$$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$$