다중 검열 데이터에 대한 공분산 행렬의 편견 추정

환경 시료의 화학 분석은 종종보고 한계 또는 다양한 검출 / 양자 한계에서 검열됩니다. 후자는 일반적으로 다른 변수의 값에 비례하여 달라질 수 있습니다. 예를 들어, 하나의 화합물이 고농도 인 시료는 분석을 위해 희석해야하므로 해당 시료에서 동시에 분석 된 다른 모든 화합물의 검열 한계가 비례 적으로 팽창합니다. 다른 예로서, 때때로 화합물의 존재는 다른 화합물에 대한 시험의 반응을 변화시킬 수있다 ( "매트릭스 간섭"); 실험실에서이를 감지하면 이에 따라보고 한계가 부풀려집니다.

특히 많은 화합물이 50 % 이상의 검열을 경험할 때 이러한 데이터 세트에 대한 전체 분산 공분산 매트릭스를 추정하는 실용적인 방법을 찾고 있습니다. 기존의 분포 모델은 (진정한) 농도의 로그가 다중 정규 분포이며, 이는 실제로 잘 맞는 것처럼 보이므로이 상황에 대한 솔루션이 유용 할 것입니다.

( "실제"라는 말은 다중 대치에서 발생하는 것과 같은 반복적 인 재 계산을 지원하기에 충분히 빠르게 실행되는 방식으로 R, Python, SAS 등과 같은 일반적으로 사용 가능한 하나 이상의 소프트웨어 환경에서 안정적으로 코딩 될 수있는 방법을 의미합니다. (이는 베이 즈 솔루션은 일반적으로 환영하지만 BUGS 구현을 탐색하는 것을 꺼려하는 이유입니다.)

이 문제에 대한 귀하의 생각에 미리 감사드립니다.

나는 매트릭스 간섭 문제를 완전히 내재화하지 않았지만 여기에 한 가지 접근법이 있습니다. 방해:

는 희석되지 않은 샘플에서 모든 표적 화합물의 농도를 나타내는 벡터이다.$Y$

는 희석 된 샘플의 해당 벡터입니다.$Z$

는 희석 인자, 즉 샘플은 d : 1로 희석된다.$d$$d$

우리의 모델은 :

$Y \sim N(\mu,\Sigma)$

$Z = \frac{Y}{d} + \epsilon$

여기서 은 희석 오차로 인한 오차를 나타냅니다.$\epsilon \sim N(0,\sigma^2\ I)$

따라서 다음과 같습니다.

$Z \sim N(\frac{\mu}{d}, \Sigma + \sigma^2\ I)$

상술의 분포 나타내고 에 의해 F Z를 ( . ) .$Z$$f_Z(.)$

하자 관측 농도하고 τ 는 화합물을 검출 할 수있는 아래의 테스트 장비의 임계 값을 나타낸다. 그런 다음, i t h 화합물의 경우 :$O$$\tau$$i^{th}$

$O_i = Z_i I(Z_i > \tau) + 0 I(Z_i \le \tau)$

일반성을 잃지 않으면 서 제 1 화합물은 이들이 임계 값 미만이되도록한다. 그런 다음 우도 함수는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.$k$

$L(O_1, ... O_k, O_{k+1},...O_n |- ) = [\prod_{i=1}^{i=k}{Pr(Z_i \le \tau)}] [\prod_{i=k+1}^{i=n}{f(O_i |-)}]$

어디에

$f(O_i |-) = \int_{j\neq i}{f_Z(O_i|-) I(O_i > \tau)}$

그러면 추정은 최대 가능성 또는 베이지안 아이디어를 사용하는 문제입니다. 위의 내용이 얼마나 다루기 쉬운 지 잘 모르겠지만 아이디어가 있기를 바랍니다.

계산적으로 효율적인 또 다른 옵션은 "차원 화 가우스"라고하는 모델, 실제로는 가우스 copula 모델을 사용하여 모멘트 매칭을 통해 공분산 행렬을 맞추는 것입니다.

Macke et al 2010 의 최근 논문 은 (검열 된) 경험적 공분산 행렬과 일부 이변 량 정규 확률의 계산 만 포함하는이 모델을 적합 화하기위한 닫힌 형식 절차를 설명합니다. 같은 그룹 (MPI Tuebingen의 베지 랩)은 아마도 여기에서 원하는 하이브리드 이산 / 연속 가우시안 모델에 대해 설명했습니다. 가우시안 RV가 완전히 "이 분화되지 않았기 때문에-임계 값 이하인 것"입니다.

비판적으로,이은 하지 ML 추정, 나는 나는 그것의 바이어스 특성이 무엇인지 모르는 두려워.

시료에 몇 개의 화합물이 있습니까? (또는 공분산 행렬이 얼마나 큰가?).

Alan Genz는 초 사각형에 대한 다변량 정규 밀도의 적분 (즉, 가능성을 평가하는 데 필요한 적분의 종류)을 계산하기위한 다양한 언어 (R, Matlab, Fortran; 여기 참조 )의 아주 멋진 코드를 가지고 있습니다. user28).

최대 10-12 차원의 적분에 이러한 함수 ( "ADAPT"및 "QSIMVN")를 사용했으며 해당 페이지의 여러 함수가 차원 100까지의 문제에 대해 적분 (및 필요한 파생 파생물)을 광고합니다. 그것이 당신의 목적에 충분한 치수인지는 알 수 없지만, 그렇다면 그래디언트 상승으로 최대 가능성 추정치를 찾을 수 있습니다.