정규 분포보다 꼬리가 두꺼운 t- 분포

강의 노트에서

t- 분포는 약간 무겁지만 꼬리는 보통처럼 보입니다.

(중앙 한계 정리로 인해) 왜 정상적으로 보일지 이해합니다. 그러나 정규 분포보다 꼬리가 무겁다는 것을 수학적으로 증명하는 방법과 정규 분포보다 무거운 정도를 측정하는 방법이 있는지 이해하는 데 어려움을 겪고 있습니다.

가장 먼저 할 일은 "무거운 꼬리"라는 의미를 공식화하는 것입니다. 개념적으로 두 분포를 동일한 위치와 스케일 (예 : 표준 편차)로 표준화 한 후 극단의 밀도가 얼마나 높은지를 볼 수 있습니다.

( 이 답변에서 귀하의 질문과 다소 관련이 있습니다 )

[이 경우 스케일링은 실제로 중요하지 않습니다. 매우 다른 스케일을 사용하더라도 t는 여전히 정상보다 "무거워집니다". 보통은 항상 낮아진다]

그러나이 정의는이 특정 비교에 적합하지만 일반화되지는 않습니다.

더 일반적으로 더 나은 정의는 whuber의 대답 입니다. 따라서 가 보다 테일 인 경우 , 가 충분히 커짐에 따라 (모두 일부 ) , 여기서 . 여기서 는 cdf입니다 (무거운 경우) 오른쪽에 꼬리가 있습니다; 다른 쪽에도 비슷하고 명백한 정의가 있습니다).$Y$$X$$t$$t>$$t_0$$S_Y(t)>S_X(t)$$S=1-F$$F$

여기에 로그 스케일과 노멀의 Quantile 스케일이 있으며,이를 통해 더 자세히 볼 수 있습니다.

따라서 두꺼운 꼬리의 "증거"는 cdfs를 비교하고 t-cdf의 상단 꼬리가 항상 정상보다 위에 있고 t-cdf의 하단 꼬리가 항상 항상 정상보다 낮음을 보여줍니다.

이 경우 가장 쉬운 방법은 밀도를 비교 한 다음 cdfs (/ survivor functions)의 해당 상대 위치가 그 뒤를 따라야한다는 것을 보여주는 것입니다.

예를 들어 (어떤 주어진 )$\nu$

$x^2 - (\nu+1) \log(1+\frac{x^2}{\nu}) > 2\cdot\log(k)\qquad^\dagger$

필요한 상수에 대해 (의 함수 ), 모든 일부 다음이를위한 무거운 꼬리를 확립 할 수있을 것이다 과 같은 큰 관점에서의 정의에 (또는 더 큰 에 왼쪽 꼬리).$k$$\nu$$x>$$x_0$$t_\nu$$1-F$$F$

$^\dagger$ (이 형식은 밀도 유지간에 필요한 관계가있는 경우 밀도 로그의 차이에서 비롯됨)

[실제로 특정 밀도 정규화 상수에서 오는 특정 뿐만 아니라 모든 대해 표시 할 수 있으므로 결과는 필요한 대해 유지되어야 합니다.]$k$$k$

차이점을 보는 한 가지 방법은 순간$E\{x^n\}.$

"무거운"테일은 분산이 동일 할 때 짝수 파워 모멘트 (파워 4, 6, 8)에 대해 더 높은 값을 의미합니다. 특히, 4 차 모멘트 (0 부근)는 첨도라고하며, 어떤 의미에서는 꼬리의 무거움을 비교합니다.

자세한 내용은 Wikipedia를 참조하십시오 ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis )

다음은 생존 함수를 기반으로 한 공식적인 증거입니다. 나는 wikipedia에서 영감을 얻은 "무거운 꼬리"의 다음 정의를 사용합니다 .

생존 함수 갖는 랜덤 변수 는 랜덤 변수보다 꼬리가 무겁습니다.$Y$$S_y(t)$$X$ 생존 기능 $S_x(t)$ iff

$$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \infty$$

평균 0, 자유도 및 척도 모수 갖는 스튜던트 t로 분포 된 랜덤 변수 고려하십시오 . 이것을 랜덤 변수 합니다. 두 변수 모두 생존 함수를 구별 할 수 있습니다. 따라서, $Y$$\nu$$a$$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

$$\begin{align*} \lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} &= \lim_{t\to\infty}\frac{f_y(t)}{f_x(t)} = \exp \lim_{t\to\infty}\left(\log f_y(t) - \log f_x(t)\right)\\ &=\exp \lim_{t\to\infty}\left(-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2\sigma^2}t^2-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}\frac{a^2}{\sigma^2}u - (\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u}+\frac{C}{u}\right)\right) \end{align*}$$ 여기서 대체했습니다 . 참고 인 상수 및 따라서 대수 한계 정리에 따라 $u=t^2/a^2$$0<a^2/\sigma^2<\infty$$\lim_{u\to\infty} C/u = 0$ $$\lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u} = \lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)}{(1)(1+\frac{u}{\nu})(\nu)} = 0$$ $$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty} u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - (0) + (0)\right)\right) = \infty$$

중요하게도 결과는 , 및 임의의 (유한) 값을 보유 하므로 분포에서 정규 분포보다 분산이 더 작지만 꼬리가 더 무거운 경우가있을 수 있습니다.$a$$\sigma^2$$\nu$