무작위 보행에 대한 자기 상관은 무엇입니까?

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그것이 정말로 높은 것처럼 보이지만 이것은 나에게 반 직관적입니다. 누군가 설명해 주시겠습니까? 이 문제로 인해 매우 혼란 스러우며 상세하고 통찰력있는 설명을 부탁드립니다. 많은 감사드립니다!

autocorrelation random-walk

— 남작
소스

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(나는 이것을 작성하는 동안이 게시물의 복제본으로 표시된 다른 게시물에 대한 답변으로 이것을 썼다. 나는 버리지 않고 여기에 게시 할 것이라고 생각했다. 대답하지만 누군가가 이것에서 무언가를 얻을 수있을만큼 충분히 다릅니다.)

무작위 보행은 $y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

참고 $y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

따라서 . $\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

또한 $\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

결과적으로 . $\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

다시 말해, 가 커지기 시작 하자마자 와 은 거의 똑같은 것이기 때문에 거의 1의 상관 관계를보아야합니다. 이들 사이의 상대적인 차이는 상당히 작습니다. $t$ $y_t$ $y_{t-1}$

vs 을 플롯하면 가장 쉽게 알 수 있습니다 . $y_t$ $y_{t-1}$

이제 우리는 그것을 다소 직관적으로 볼 수 있습니다. 이 으로 떨어 상상해보십시오 (표준 노멀 용어로 랜덤 보행 시뮬레이션에서 보았 듯이). 그러면 는 아주 가깝습니다 . 그것은 수 있습니다 또는 일 수 있습니다 하지만 몇 단위 이내가 거의 확실합니다 . 따라서 시리즈가 위아래로 표류함에 따라 대 의 플롯은 거의 항상 라인 의 아주 좁은 범위 내에 머무를 것입니다. $y_{t-1}$ $-20$ $y_t$ $-20$ $-22$ $-18.5$ $-20$ $y_t$ $y_{t-1}$ $y=x$ $t$ 점이 커지면 선을 따라 점이 커지고 늘어납니다 (선을 따라 펼쳐짐은 커짐) $y=x$ , 그러나 수직 스프레드는 대략 일정하게 유지됨); 상관 관계는 1에 근접해야합니다. $\sqrt{t}$

— Glen_b-복귀 모니카
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이전 질문 의 맥락 에서 "임의의 보행"은 이항 랜덤 보행을 실현 한 것입니다 . 자기 상관은 벡터 와 다음 요소의 벡터 와의 상관 관계 입니다. $(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ .

이항 랜덤 워크의 구성은 각 이 상수에 의해 각 와 달라지게 합니다. $x_{i+1}$ $x_i$ 잠시 동안 걷기를 실행 한 후, 의 값은 초기 값 에서 벗어나게 되므로 일반적으로 비례하는 좋은 범위를 포함합니다. $x_i$ $x_0$ 길이는 입니다. 따라서쌍의 lag-1 산점도는선에만있는 점으로 구성되며평균적으로선에 가깝습니다. 잔차는가깝습니다. 그러므로 대부분의 실현에서, 잔차의 분산 (약)은 값의 분산 (대략 $\sqrt{n}$ $(x_i, x_{i+1})$ $y=x\pm 1$ $y=x$ $\pm 1$ $1$ )가 작습니다. 우리는가 대략 $(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$ $R^2$

{아르 자형}^{2} \approx 1 - \frac{1}{엔 / 4} = 1 - \frac{4}{엔} .

$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$

다음은 랜덤 보행 (왼쪽)과 그 래그 -1 산점도 (오른쪽) 의 단계 그림입니다 . 색상 코딩은 두 플롯에서 해당 지점을 찾는 데 도움이됩니다. 통지 매우 가까운 실제로하는 것입니다 이 경우. $n=1000$ $R^2$ $1 - 4/n$

R이미지를 생성 한 코드 는 다음과 같습니다 .

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))

— 우버
소스