귀무 가설 하에서 결정 계수

이 텍스트의 첫 페이지 하단에 $R^2_\mathrm{adjusted}$ 조정에 관한 진술이 궁금합니다.

R_{a d j u s t e d}^{2} = 1 - (1 - R^{2}) (\frac{n - 1}{n - m - 1}) .

$R^2_\mathrm{adjusted} =1-(1-R^2)\left({\frac{n-1}{n-m-1}}\right).$

텍스트 상태는 다음과 같습니다.

조정의 논리는 다음과 같습니다. 일반 다중 회귀 분석에서 랜덤 예측 변수는 평균적으로 반응 변이의 비율을 설명 하므로 랜덤 예측 변수는 평균적으로 반응의 변화; 즉, 의 예상 값 은 입니다. [ ] 수식을 모든 예측 변수가 임의 인 해당 값에 적용하면 됩니다. " $1/(n – 1)$ $m$ $m/(n – 1)$ $R^2$ $\mathbb{E}(R^2) = m/(n – 1)$ $R^2_\mathrm{adjusted}$ $R^2_\mathrm{adjusted} = 0$

이것은 대한 매우 간단하고 해석 가능한 동기 부여 인 것 같습니다 $R^2_\mathrm{adjusted}$ . 그러나 단일 랜덤 (예 상관되지 않은) 예측 변수에 대해 $\mathbb{E}(R^2)=1/(n – 1)$ 을 수 없었습니다 .

누군가가 올바른 방향으로 나를 가리킬 수 있습니까?

— gregory_britten
소스

나중에 링크가 작동하지 않을 경우 전체 참조를 제공 할 수 있습니까? 감사합니다.

— Richard Hardy

이것은 정확한 수학적 통계입니다. 모든 회귀 분석기 (상수항)가 종속 변수 ( "무작위 예측 변수") 와 상관 관계가 없다는 가설 하에서 분포의 유도에 대해서는 이 포스트 를 참조하십시오 . $R^2$

이 분포는 베타이며, 은 상수 항 을 세지 않고 예측 변수의 개수 이고 은 표본 크기입니다. $m$ $n$

R^{2} \sim B e t a (\frac{m}{2}, \frac{n - m - 1}{2})

$R^2 \sim Beta\left (\frac {m}{2}, \frac {n-m-1}{2}\right)$

그래서

E (R^{2}) = \frac{m / 2}{(m / 2) + [(n - m - 1) / 2]} = \frac{m}{n - 1}

$E(R^2) = \frac {m/2}{(m/2)+[(n-m-1)/2]} = \frac{m}{n-1}$

이것은 조정 된 배후의 논리를 "정의"하는 영리한 방법 인 것 같습니다. 실제로 모든 회귀 분석기가 서로 관련이없는 경우, 조정 된 는 "평균"0입니다. $R^2$ $R^2$

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

내가 필요한 약간의 정보! 감사합니다! 그리고 긴 라이브 스택 교환!

— gregory_britten

모든 회귀 변수가 종속 변수와 관련이없는 경우에 관심이 있습니다. 이것에 대한 언급이 있습니까?

— Olivier

@Olivier 아니오 나는 두렵지 않다. "회귀 유의성에 대한 F- 검정, 대안에 따른 분포"또는 이와 유사한 항목을보십시오.

— Alecos Papadopoulos