경계 데이터 세트에 대한 최대 변동 계수 값

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표준 편차가 평균을 초과 할 수 있는지에 대한 최근의 질문 에 대한 토론 에서 한 질문이 잠깐 제기되었지만 완전히 대답하지는 않았습니다. 그래서 여기에 묻습니다.

대해 $n$ 아닌 음수 의 집합을 고려하십시오. $x_i$ 여기서 $0 \leq x_i \leq c$ 입니다 . 가 고유 할 필요는 없습니다 . 즉, 세트가 다중 세트 일 수 있습니다. 집합의 평균과 분산은 이고 표준 편차는 입니다. 숫자 집합이 아닙니다 $1 \leq i \leq n$ $x_i$

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}, σ_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} = (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) - {\bar{x}}^{2}

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, ~~ \sigma_x^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \bar{x}^2$

σ_{x}

$\sigma_x$ 모집단의 표본으로 모집단 평균 또는 모집단 분산을 추정하지 않습니다. 문제는 다음과 같습니다.

간격 에서 의 모든 선택에 대한 변동 계수 인 의 최대 값은 얼마입니까? $\dfrac{\sigma_x}{\bar{x}}$ $x_i$ $[0,c]$

찾을 수있는 최대 값 $\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$ 은 $\sqrt{n-1}$ 이는 의 $n-1$ 에 값이 이고 나머지 (이상치) 가 있을 때 달성됩니다. 값 , 그러나 이것은 전혀 에 의존하지 않으며 , 아마도 과 모두에 의존하는 더 큰 값 이 달성 될 수 있는지 궁금합니다 . $x_i$ $0$ $x_i$ $c$

\bar{x} = \frac{c}{n}, \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} = \frac{c^{2}}{n} \Rightarrow σ_{x} = \sqrt{\frac{c^{2}}{n} - \frac{c^{2}}{n^{2}}} = \frac{c}{n} \sqrt{n - 1} .

$\bar{x} = \frac{c}{n},~~ \frac{1}{n}\sum x_i^2 = \frac{c^2}{n} \Rightarrow \sigma_x = \sqrt{\frac{c^2}{n} - \frac{c^2}{n^2}} = \frac{c}{n}\sqrt{n-1}.$

c

$c$

n

$n$

c

$c$

어떤 아이디어? 이 질문은 이전 통계 문헌에서 연구되었으므로 실제 결과가 아니라면 참고 문헌이 많이 인정 될 것입니다.

— 디립 사르 베이트
소스

나는 그것이 당신이 가능한 가장 큰 가치에 대해 옳다고 생각하며, 또한 가 중요하지 않다는 것에 놀랐습니다 . 멋있는.

c

$c$

— Peter Flom-Monica Monica 복원

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c

$c$ 모든 값에 양의 상수 곱한 경우 가 변경되지 않으므로 는 결과에 영향을 미치지 않아야합니다 .

\frac{σ_{x}}{\bar{x}}

$\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$

k

$k$

— Henry

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기하학은 통찰력을 제공하고 고전적인 불평등은 엄격하게 접근하기 쉽습니다.

기하학적 솔루션

우리는에서 알고 최소 제곱의 형상 , 그 벡터의 정사영은 데이터 $\mathbf{\bar{x}} = (\bar{x}, \bar{x}, \ldots, \bar{x})$ $\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 상수 벡터 의해 생성 된 선형 부분 공간에 대한 및 는 (유클리드) 거리에 정비례합니다 사이 와 음이 아닌 구속 조건은 선형이며 거리는 볼록 함수입니다. 구속 조건에 의해 결정된 원뿔의 가장자리에서 극단 거리를 확보해야합니다. 이 원뿔은 의 긍정적 인 ortant입니다 $(1,1,\ldots,1)$ $\sigma_x$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{\bar{x}}.$ $\mathbb{R}^n$ 그리고 그 모서리는 좌표축이며, 중 하나를 제외한 모든 거리가 최대 거리에서 0이어야 한다는 것을 즉시 따릅니다 . 이러한 데이터 세트의 경우 직접 (간단한) 계산에는 $x_i$ $\sigma_x/\bar{x}=\sqrt{n}.$

고전적 불평등을 이용하는 솔루션

$\sigma_x/\bar{x}$ 는 그 단조 변환과 동시에 최적화됩니다. 이것에 비추어, 최대화하자

\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} = \frac{1}{n} (\frac{n - 1}{n} {(\frac{σ_{x}}{\bar{x}})}^{2} + 1) = f (\frac{σ_{x}}{\bar{x}}) .

$\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} = \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\left(\frac{\sigma_x}{\bar{x}}\right)^2+1\right) = f\left(\frac{\sigma_x}{\bar{x}}\right).$

( 의 수식은 를 대수적으로 조작 하여 간단한 모양으로 만드는 단계 (왼쪽)를 기록 할 때까지 신비 수 있습니다.) $f$ $\sigma_x/\bar{x}$

쉬운 방법은 Holder 's Iequality로 시작합니다 .

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} \leq (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) max ({x_{i}}) .

$x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 \le \left(x_1+x_2+\ldots+x_n\right)\max(\{x_i\}).$

(이 간단한 맥락에서는 특별한 증거가 필요하지 않습니다. 각 항 한 요소를 최대 성분 . 분명히 제곱의 합은 줄어들지 않습니다. 일반적인 용어 $x_i^2 = x_i \times x_i$ $\max(\{x_i\})$ $\max(\{x_i\})$ 은 부등식의 오른쪽을 나타냅니다.)

때문에 아닌 모두 (즉, 떠날 것이다 $x_i$ $0$ $\sigma_x/\bar{x}$ 정의되지 않음), 합계의 제곱으로 나눈 값은 유효하며 동등한 불평등을 제공합니다.

\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} \leq \frac{max ({x_{i}})}{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}} .

$\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} \le \frac{\max(\{x_i\})}{x_1+x_2+\ldots+x_n}.$

분모는 분자 (분모의 항 중 하나 일뿐)보다 작을 수 없으므로, 오른쪽은 값으로 지배되며 , 중 하나를 제외한 모든 것이 과 같을 때만 달성됩니다 . 어떻게 $1$ $x_i$ $0$

\frac{σ_{x}}{\bar{x}} \leq f^{- 1} (1) = \sqrt{(1 \times (n - 1)) \frac{n}{n - 1}} = \sqrt{n} .

$\frac{\sigma_x}{\bar{x}} \le f^{-1}\left(1\right) = \sqrt{\left(1 \times (n - 1)\right)\frac{n}{n-1}}=\sqrt{n}.$

대체 접근법

때문에 음수이며 합계가 수 의 값 확률 분포를 결정 에 . 쓰기 의 합에 대한 , 우리는 인식 $x_i$ $0$ $p(i) = x_i/(x_1+x_2+\ldots+x_n)$ $F$ $\{1,2,\ldots,n\}$ $s$ $x_i$

\begin{aligned} \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} & = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{s^{2}} \\ = (\frac{x_{1}}{s}) (\frac{x_{1}}{s}) + (\frac{x_{2}}{s}) (\frac{x_{2}}{s}) + \dots + (\frac{x_{n}}{s}) (\frac{x_{n}}{s}) \\ = p_{1} p_{1} + p_{2} p_{2} + \dots + p_{n} p_{n} \\ = E_{F} [p] . \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} &= \frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{s^2} \\ &= \left(\frac{x_1}{s}\right)\left(\frac{x_1}{s}\right)+\left(\frac{x_2}{s}\right)\left(\frac{x_2}{s}\right) + \ldots + \left(\frac{x_n}{s}\right)\left(\frac{x_n}{s}\right)\\ &= p_1 p_1 + p_2 p_2 + \ldots + p_n p_n\\ &= \mathbb{E}_F[p]. }$

확률이 을 초과 할 수 없다는 공리 학적 사실은 이 기대치가 초과 할 수 없다는 것을 의미 하지만, 중 하나를 모두 으로 설정하고 중 정확히 하나 를 으로 설정 하면 과 같게 만드는 것은 쉽습니다 . 위의 기하학적 솔루션의 마지막 줄에서와 같이 변동 계수를 계산하십시오. $1$ $1$ $1$ $p_i$ $0$ $x_i$

— 우버
소스

내가 많이 배운 자세한 답변에 감사드립니다! 나는 사이의 차이 가정 당신의 대답과 내가 얻은 (헨리가 확인 된) 것으로 인해 사용중인 사실입니다 를 의 정의로 사용하고

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$

σ_{x} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$

σ_{x}

$\sigma_x$

σ_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} ?

$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}?$

— Dilip Sarwate

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네, Dilip, 맞습니다. 질문과의 불일치에 대해 죄송합니다. 먼저 확인해야하고 ( 정의 했지만 잊어 버렸습니다)를 정의해야합니다 .

σ_{x}

$\sigma_x$

— whuber

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다른 사람들의 케이크에 작은 양초로 언급 된 것들 :

Katsnelson과 Kotz (1957)는 모든 이면 변동 계수가 초과 할 수 없음을 증명했습니다. $x_i \ge 0$ $\sqrt{n − 1}$ . 이 결과는 Longley (1952)에 의해 이전에 언급되었습니다. Cramér (1946, p.357)는 덜 예리한 결과를 보였고 Kirby (1974)는 덜 일반적인 결과를 보였습니다.

Cramér, H. 1946. 통계의 수학적 방법 . 프린스턴, 뉴저지 : 프린스턴 대학 출판부.

Katsnelson, J. 및 S. Kotz. 1957. 일부 변동성 측정의 상한. 지질학 및 생물 생물계 보관소 , 시리즈 B 8 : 103-107.

Kirby, W. 1974 년. 표본 통계의 대수 경계. 수자원 연구 10 : 220–222.

Longley, RW 1952 년. 강수량 변동성의 척도. 월별 날씨 검토 80 : 111–117.

나는이 논문을 보았습니다.

Cox, NJ 2010. 샘플 왜도 및 첨도의 한계. 스타 타 저널 10 : 482-495.

모멘트 기반 왜도 및 첨도에 대해 광범위하게 유사한 범위를 설명합니다.

— 닉 콕스
소스

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두 개의 숫자 , 일부 및 : $x_i \ge x_j$ $\delta \gt 0$ $\mu$

(x_{i} + δ - μ)^{2} + (x_{j} - δ - μ)^{2} - (x_{i} - μ)^{2} - (x_{j} - μ)^{2} = 2 δ (x_{i} - x_{j} + δ) > 0.

$(x_i+\delta - \mu)^2 + (x_j - \delta - \mu)^2 - (x_i - \mu)^2 - (x_j - \mu)^2 = 2\delta(x_i - x_j +\delta) \gt 0.$

음 이 아닌 데이터 포인트에 이것을 적용하면 숫자 중 하나를 제외한 모든 숫자가 0이 아니고 더 이상 줄어들 수 없으면 데이터 쌍 쌍 사이의 간격을 넓혀 분산과 표준 편차를 증가시킬 수 있습니다. 동일한 평균을 유지하면서 변동 계수를 증가시킵니다. 따라서 데이터 세트의 최대 변동 계수는 입니다. $n$ $n$ $\sqrt{n-1}$

$c$ 모든 값에 양의 상수 곱한 경우 가 변경되지 않으므로 는 결과에 영향을 미치지 않아야합니다 (내 의견에서 언급했듯이). $\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$ $k$

— 헨리
소스