비대칭 분포의 평균에 대해 신뢰할 수있는 비모수 적 신뢰 구간이 있습니까?

로그 정규 분포와 같이 매우 치우친 분포는 정확한 부트 스트랩 신뢰 구간을 생성하지 않습니다. 다음은 R에서 어떤 부트 스트랩 방법을 사용하든 왼쪽 및 오른쪽 꼬리 영역이 이상적인 0.025와 거리가 멀다는 것을 보여주는 예입니다.

require(boot)
n    <- 25
B    <- 1000
nsim <- 1000
set.seed(1)
which <- c('basic', 'perc', 'norm', 'bca', 'stud')
mul <- 0; sdl <- 1.65   # on log scale
dist <- c('normal', 'lognormal')[2]
switch(dist, normal    = {g <- function(x) x; mu <- mul},
             lognormal = {g <- exp; mu <- exp(mul + sdl * sdl / 2)})
count <- matrix(0, nrow=length(which), ncol=2,
                dimnames=list(which, c('lower', 'upper')))
stat <- function(x, j) {
## See http://www.psychology.mcmaster.ca/bennett/boot09/percentileT.pdf
  x <- x[j]
  m <- mean(x)
  s <- sd(x)
  n <- length(x)
  sem <- s / sqrt(n)
  m.var <- sem ^ 2
  c(m, m.var)
}
for(i in 1 : nsim) {
  if(i %% 100 == 0) cat(i, '')
  x <- g(rnorm(n, mul, sdl))
  b  <- boot(x, stat, R=B)
  ci <- boot.ci(b, type=which)
  for(w in which) {
    nam <- switch(w, perc='percent', norm='normal', basic='basic',
                  stud='student', bca='bca')
    z <- rev(rev(ci[[nam]])[1:2])
    count[w, 'lower'] <- count[w, 'lower'] + (z[1] > mu)
    count[w, 'upper'] <- count[w, 'upper'] + (z[2] < mu)
  }
}
cat('\n')
count / nsim

결과는 다음과 같습니다.

      lower upper
basic 0.000 0.329
perc  0.003 0.257
norm  0.000 0.287
bca   0.015 0.185
stud  0.005 0.129

를 들어 단일 부트 스트랩 여전히 적절하게 정확한 범위를 제공하지 않습니다$n=400$

      lower upper
basic 0.001 0.114
perc  0.005 0.093
norm  0.002 0.102
bca   0.017 0.067
stud  0.011 0.058

또한 경험적 우도는 로그 정규 분포에서 샘플링 할 때 정확한 신뢰 구간을 제공하지 못합니다.

미리 배포판을 아는 것에 의존하지 않는 범용 접근법이 있습니까? 누구든지 데이터를 Tukey 일반화 분포 에 피팅하여 평균에 대한 신뢰 구간을 얻으려고 했습니까 (이 분포는 매우 유연합니다)? CDF에 Kolmogorov-Smirnov 신뢰 구간을 사용하는 것은 어떻습니까? CDF의 상한과 하한의 평균을 계산하는 것이 엄청나게 보수적인가? 방법이 광범위하게 적용 가능하다면 일부 보수주의에 정착 할 것입니다.$\lambda$

목표를 다시 설명하기 위해 모집단 평균에 대한 신뢰 구간을 얻는 데 일반적으로 적용 가능한 접근법을 찾고 있습니다.

1. 원시 데이터 분포가 비대칭 인 경우 간격은 비대칭입니다.
2. 간격은 두 꼬리 모두 에서 올바른 범위를 갖습니다 (예 : 두 가지 모두 에서 0.025 오류 확률)
3. 이 절차에서는 분석가가 기본 분포 또는 분포를 대칭으로 만드는 데 필요한 변환에 대해 아무것도 지정하지 않아도됩니다.

중심 한계 정리는 여기서 관련이 없습니다. 표본 크기가 작고 신뢰 구간이 양쪽 꼬리 모두에서 정확하도록 비대칭이어야합니다. 파라 메트릭$t$$\mu=0, \sigma=1.65$$n=20000$

이것에 대해 계속 생각하면서 논의하고자하는 문제를 개념화하는 두 가지 방법이 있습니다.

1. $n=20$$1.28 \times$$t$
2. 단일 부트 스트랩이 극도로 치우친 분포의 표본에 대해 정확하게 정확한 신뢰 한계를 제공하지는 않지만 이중 부트 스트랩은 두 꼬리의 신뢰 범위를 크게 향상시킬 수 있습니다. Nankervis 는 몇 가지 좋은 결과를 가지고 있으며 우수한 계산 알고리즘을 제공합니다. 그러나 찾을 수있는 소프트웨어는 이것을 구현하지 않습니다.

위의 1을 나타내는 R 코드 :

## Exact CI for median from DescTools package SignTest.default
## See also ttp://www.stat.umn.edu/geyer/old03/5102/notes/rank.pdf,
## http://de.scribd.com/doc/75941305/Confidence-Interval-for-Median-Based-on-Sign-Test
cimed <- function(x, alpha=0.05, na.rm=FALSE) {
  if(na.rm) x <- x[! is.na(x)]
  n <- length(x)
  k <- qbinom(p=alpha / 2, size=n, prob=0.5, lower.tail=TRUE)
  ## Actual CL: 1 - 2 * pbinom(k - 1, size=n, prob=0.5) >= 1 - alpha
  sort(x)[c(k, n - k + 1)]
}

n <- 20
m <- 20000
cil <- cilt <- 0
z <- qt(0.975, n - 1)

for(i in 1 : m) {
  x <- rnorm(n)
  cil  <- cil + diff(cimed(x))
  cilt <- cilt + 2 * z * sqrt(var(x) / n)
}
cil  <- cil / m
cilt <- cilt / m

c(cil, cilt, cilt / cil, cil / cilt)

적어도 기본 분포에 어떤 종류의 제약이 도입되지 않은 그러한 비모수 적 방법에 대해서는 다소 비관적입니다.

$n$$n \rightarrow \infty$

$\alpha$$\alpha$$\alpha$$n$$\alpha$

따라서 적절한 점근 적 범위를 찾고 있다면 CLT를 통해 달성 할 수 있습니다. 그러나 귀하의 질문은 귀하가 유한 범위에 관심이 있음을 암시합니다. 내 예에서 알 수 있듯이 항상 유한 길이의 CI를 망칠 병리학 적 사례가 있습니다.

이제 분포에 제약 조건을 추가하여 좋은 유한 범위를 달성하는 비모수 적 CI를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 로그 오목 제약 조건은 비모수 제약 조건입니다. 그러나 log-normal이 로그 오목하지 않기 때문에 문제에 적합하지 않은 것 같습니다.

$\alpha$

모든 샘플의 기본 가정 중 하나는 대표성입니다. 분포의 꼬리가 길수록 표본이 분포를 나타낼 수 없기 때문에 작은 표본이 CI를 안정적으로 해결할 수있는 방법에 충분히 대표적이지 않을 것입니다.

예를 들어, 표본 크기가 250 인 지수 분포에서 간단한 perc CI를 실행하면 결과가 꽤 좋습니다. 여전히 이상적인 것은 아니지만 샘플 25의 샘플보다 훨씬 낫습니다.

Cliff AB는 일반적인 해결책은 없지만 극단 분포를 가정 할 필요는 없다는 데 동의합니다. 작은 샘플로 광범위하게 작동하는 것은 없습니다. 그리고 어떤 경우에는 샘플이 매우 커야 할 수도 있습니다 (그러나 잘못되는 것이 좋을 것입니다).