오차 함수와 표준 정규 분포 함수는 어떤 관련이 있습니까?

표준 일반 PDF가

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$$

CDF는

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$$

이것은 어떻게 의 오류 함수로 변 합니까?$z$

이것은 일부 시스템에서 자주 발생하기 때문에 (예를 들어 Mathematica 는 관점에서 Normal CDF를 표현해야한다고 주장 하므로) 관계를 문서화하는 이와 같은 스레드를 갖는 것이 좋습니다.$\text{Erf}$

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에 의해 정의, 오류 기능 입니다

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$$

필기구 의미 (때문 음수가) 어디서 . 엔드 포인트 및 는 및 됩니다. 결과 적분을 누적 분포 함수 (CDF)처럼 보이는 것으로 변환하려면 하한이 인 적분으로 표현되어야합니다 .$t^2 = z^2/2$$t = z / \sqrt{2}$$t$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$$t=0$$t=x$$z=0$$z=x\sqrt{2}$$-\infty$

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$$

오른쪽 크기의 적분은 모두 표준 정규 분포의 CDF 값입니다.

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$$

구체적으로 특별히,

$$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$$

일반 CDF로 오류 기능을 표현하는 방법을 보여줍니다. 대수를 조작하면 오류 기능 측면에서 일반 CDF를 쉽게 얻을 수 있습니다.

$$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$$

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이 관계 (실수의 경우)는 두 함수의 도표로 표시됩니다. 그래프는 동일한 곡선입니다. 왼쪽의 오차 함수의 좌표 는 좌표에 를 곱하고 좌표에 을 더한 다음 좌표를 로 나누어서 오른쪽 의 좌표로 변환 합니다. 관계$\Phi$$x$$\sqrt{2}$$1$$y$$y$$2$

$$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$$

여기서 표기법은 곱셈, 덧셈, 나눗셈의 세 가지 연산을 명시 적으로 보여줍니다.