여러 조건을 가진 베이 즈 정리

이 방정식이 어떻게 도출되었는지 이해할 수 없습니다.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

이 방정식은 OJ Simpson의 사례가 문제로 제시된 논문 "확률에 의한 시험"에서 발췌 한 것입니다. 피고는 이중 살인 혐의로 재판을 받고 있으며 그에 대한 두 가지 증거가 도입되었습니다.

$M_{1}$ 은 피고의 피가 범죄 현장에서 발견 된 한 방울의 피와 일치하는 사건입니다. 는 피해자의 혈액이 피고인의 양말에서 피와 일치하는 사건입니다. 죄책감을 가정 할 때, 한 증거의 발생은 다른 증거의 가능성을 증가시킵니다. 동안 피고가 무죄 사건이다 그가 유죄 인 경우이다. $M_{2}$ $I$ $I'$

우리는 두 가지 증거가 주어 졌을 때 피고인이 결백 할 확률에 대한 천장을 확보하려고 노력하고 있습니다.

일부 변수에 대한 값이 주어졌지만 관심있는 것은 방정식이 파생 된 방법입니다. 나는 시도했지만 아무데도 없었다.

예, '이미 답변이있을 수있는 질문'을 확인했습니다.

bayesian conditional-probability bayes

— 사쿠라 베
소스

의 의미는 무엇입니까 ? 그것은인가 ?

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— 시안

@ Xi'an yes 는 다른 표기법으로 입니다

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

베이 즈 정리 : 이제 여러분이 제공 한 논문은

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

경우 사실, 다음 및 독립적이다. 그러나 죄책감을 가정하면, 하나의 발생은 다른 하나의 가능성을 증가시킬 것입니다. $I$ $M_1$ $M_2$

따라서 및 따라서,

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

으로 파생 , 노트 과의 발생 이후 확률 증가시킬 : $\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— 프랜시스
소스

먼저 도와 주셔서 감사합니다. 그러나 나는 여전히 약간 혼란 스럽다. 방정식 번호를 추가하고 나중에 대체 할 때 이전 방정식을 적용 할 위치를 표시 할 수 있습니까? 일이 이해되기 시작하지만 'and'후에도 불평등이 발생하지 않으며, 분모를 대체하고 모든 부분이 불평등이됩니다. 논문의 인용 된 주장이 수학적으로 어떻게 도움이되는지에 대한 설명을 추측하고 있습니다. 다시 감사합니다!

— Sakurabe

@ Sakurabe : 더 나은?

— Francis

좋아요, 이제 증거들이 서로를 강화시키는 방법을 얻었습니다. 마지막 질문으로, 분모에서 를 떨어 습니까? 정리 나 다른 것없이 드롭으로? 내 말은, 결과 불평등을 (2)에서 되돌릴 수 없기 때문에 의미가 있으며 플러스는 단 하나의 DNA 증거 (분모에 +1 포함)가있는 논문의 이전 예에서 가정 한 것입니다. ). 고마워, 정말 고마워

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$

— Sakurabe

@ Sakurabe : 예, 그 용어는 음수가 아니기 때문에 삭제하면 분모가 감소합니다.

— Francis