교차 공분산 행렬이 0이 아닌지 테스트하는 방법은 무엇입니까?

내 연구의 배경 :

깁스 샘플링에서 어디 샘플 $X$ (관심의 가변) 및 $Y$ 에서 $P(X|Y)$ 및 $P(Y|X)$ 는 각각 $X$ 및 $Y$ 있는 $k$ 차원 랜덤 벡터. 프로세스는 일반적으로 두 단계로 나뉩니다.

1. 모든 샘플을 폐기하는 번인 기간. 샘플은 $X_1\sim X_t$ 및 로 나타냅니다 $Y_1\sim Y_t$.
2. 샘플을 평균화하는 "애프터 번인"기간 $\bar{X} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k X_{t+i}$는 최종 결과입니다.

그러나, "애프터-번-인"시퀀스 의 샘플은 $X_{t+1}\sim X_{t+k}$독립적으로 분포되지 않습니다. 따라서 최종 결과의 분산을 검사하려면

$$\operatorname{Var}[\bar{X}] = \operatorname{Var}\left[\sum_{i=1}^k X_{t+i}\right] = \frac{1}{k^2}\left(\sum_{i=1}^k\operatorname{Var}[X_{t+i}] + \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^k \operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]\right)$$

여기서 라는 용어 는 k × k 교차 공분산 행렬 이며 i < j 인 임의의 ( i , j )에 적용됩니다 .$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$$k\times k$$(i,j)$$i<j$

예를 들어

$$X_{t+1} = (1,2,1)'\\ X_{t+2} = (1,0,2)'\\ X_{t+3} = (1,0,0)'\\ X_{t+4} = (5,0,-1)'$$

공분산 행렬 를 추정 할 수 있습니다.$\operatorname{Cov}[X_{t+i}, X_{t+i+1}]$

$$\frac{1}{3}\sum_{i=1}^3 (X_{t+i}-\mu_{t+i})(X_{t+i+1}-\mu_{t+i+1})'$$

이제 결과 추정값이 0이 아닌지에 관심이 있으므로 의 분산 추정값에 포함시켜야합니다 .$\operatorname{Var}[\bar{X}]$

그래서 여기 내 질문이 온다 :

1. 우리 샘플 에서 P ( X t + 전 | Y의 t + I ) . Y t + i 가 변하기 때문에 X t + i 와 X t + i + 1 은 같은 분포에서 나온 것이 아니라 Cov [ X t + i , X t + j ] 는 Cov [ X t 와 같지 않습니다$X_{t+i}$$P(X_{t+i}|Y_{t+i})$$Y_{t+i}$$X_{t+i}$$X_{t+i+1}$$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$. 이 진술이 맞습니까?$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i}]$
2. (시퀀스에서 인접 샘플) 를 추정하기에 충분한 데이터가 있다고 가정 하고 공분산 행렬이 0이 아닌 행렬인지 테스트 할 방법이 있습니까? 광범위하게 말해서, 나는 최종 분산 추정에 포함되어야하는 의미있는 교차 공분산 행렬을 안내하는 지표에 관심 이 있습니다.$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i+1}]$

1. 우리 샘플 에서 P ( X t + 전 | Y의 t + I ) . 때문에 Y의 t는 + i가 변하고 생각 X t + I 및 X t + I + 1이 동일한 분포하지 [...]$X_{t+i}$$P(X_{t+i}|Y_{t+i})$$Y_{t+i}$$X_{t+i}$$X_{t+i+1}$

조건부 배포와 무조건 배포를 혼동하고 있습니다. 다음 비고도 참조하십시오. 및 Y t + i + 1 = y 2의 조건부 , P ( X t + i | Y t + i = y 1 ) ≠ P ( X t + i + 1 | Y t + i + 1 = y $Y_{t+i} = y_1$$Y_{t+i+1} = y_2$ . 그러나 Gibbs 샘플러를 구성하는 요점은 X 와 Y 의 고정 분포에서 샘플링하는 것입니다. 매우 대략적으로 말하면, 체인을 충분히 오랫동안 운영하여 { Y t } 가 고정 분포를 따르도록하면 P ( X t ) = ∫ Y P ( X t | Y t ) d P ( Y t ) , 무조건 X t 분포$P(X_{t+i}|Y_{t+i} = y_1) \neq P(X_{t+i+1}|Y_{t+i+1} = y_2)$$X$$Y$$\{Y_t\}$

$$\begin{align} P(X_t) = \int_{\mathcal{Y}}P(X_t|Y_t)dP(Y_t), \end{align}$$ $X_t$또한 변하지 않습니다. 다시 말해서, 와 같이 고정 분포에 수렴합니다. P ( X t + i | Y t + i ) = P ( X t + i + 1 | Y t + i + 1 ) , Y t + i 와 Y t + i + 1 은 (동일하게!) 고정 분포 P $t \to \infty$$P(X_{t+i}|Y_{t+i}) = P(X_{t+i+1}|Y_{t+i+1})$$Y_{t+i}$$Y_{t+i+1}$ . 반면에 이전과 마찬가지로 Y t + i = y 1 및 Y t + i + 1 = y 2 에 대해 조건을 설정하면 t의 크기에 관계없이 더 이상 유지되지 않습니다.$P(Y_t)$$Y_{t+i} = y_1$$Y_{t+i+1} = y_2$$t$

[...]를 와 동일하지 COV [ X t + I , X t + I ] . 이 진술이 맞습니까?$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i}]$

네, 맞습니다 - 비록 , 즉 X t 와 X t + 1 같은 고정 분포를 가지고있다. 나는 이것이 혼란 스러울 수 있음을 알고 있지만 나에게 견딜 수 있습니다. ε t i i d ∼ N ( 0 , 1 )으로 Y t = 0.8 ⋅ Y t − 1 + ε t 를 정의 합니다. 반복 치환에 의해 Y t = $X_{t+1} \sim X_{t}$$X_t$$X_{t+1}$$Y_t = 0.8\cdot Y_{t-1} + \varepsilon_t$$\varepsilon_t \overset{iid}{\sim} N(0,1)$, (무한한) 법선의 합은 여전히 ​​정상이므로,Var(Yt)=∑ t i = 0 0.82i=$Y_t = \sum_{i=0}^t0.8^i \varepsilon_{t-i}$ 이므로Ytiid∼N(0,$\text{Var}(Y_t) = \sum_{i=0}^t0.8^{2i} = \dfrac{1}{1-0.8^2}$. 분명히Yt와Yt+1은 여전히 ​​상관 관계가 있지만 같은 분포 (Yt+1∼Yt)에서 나옵니다. Xt에대해서도 비슷한 상황이 있습니다.$Y_t \overset{iid}{\sim} N(0, \dfrac{1}{1-0.8^2})$$Y_t$$Y_{t+1}$$Y_{t+1} \sim Y_{t}$$X_t$

2. (시퀀스에서 인접 샘플) 를 추정하기에 충분한 데이터가 있다고 가정 하고 공분산 행렬이 0이 아닌 행렬인지 테스트 할 방법이 있습니까? 광범위하게 말해서, 나는 최종 분산 추정에 포함되어야하는 의미있는 교차 공분산 행렬을 안내하는 지표에 관심 이 있습니다.$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i+1}]$

글쎄, 당신이 무한히 많은 관측을했다면, 결국 모두 중요 할 것입니다. 분명히, 당신은 실제로 이것을 할 수는 없지만 몇 가지 용어 후에 확장을 '잘라내는'방법이 있습니다. 여기서 훌륭한 대답을 보십시오. 기본적으로, 당신은 커널 정의 에 붕괴 0 처음에 및 양수인 무게 리터 T의 당신은 계산할 수 공분산 행렬. 원칙적인 방법으로 l T 를 선택 하려면 문헌을 조금 파헤쳐 야하지만, 내가 연결 한 게시물은 정확히 그렇게 할 수있는 좋은 참고 자료를 제공합니다.$k(\cdot)$$0$$l_T$$l_T$